Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
W1=O UW1 \Wi = 0 Az^O tE!± V" kl
Az
Отсюда следует, что производная ^= в точке W1 = O является поло-
жительным действительным числом. Рассмотрим вспомогательную функцию, определенную при I W1 I =? 1,
V(Wi) = ^1V(W1). (6.17)
Очевидно, функция я|) (W1) является однозначной аналитической функцией в области 0<|й>і|<1- Точка W1 = 0 — устранимая особая точка этой функции. Доопределим -ф (W1) при W1 = 0 по непрерывности. Разложим ф (TKi1) в окрестности W1 = O в ряд Тейлора:
W2 = ф (W1) = ф (0)
W1 + ...=^-
= 0 dw1
W1 ф
=о
Переходя к пределу при W1 ->- 0, получаем
?(0)= Hm ?М = pL
= ?->о. (6.1 г
W1 = O K1 4
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
163
Функция ф (W1) непрерывна в замкнутой области Ia)1Js=Sl, причем в этой области ф(^1)и
1^(Wi)U1I = I = I- (6.19)
В силу принципа максимума и минимума модуля аналитической функции из (6.19) следует, что
I ф (W1) 1==1 при ІИ'іі-sCI,
откуда в силу замечания на стр. 51 (гл. 1) получим, что
ф (W1) = const при Ia)1Jr=SiI. (6.20)
Чтобы найти эту постоянную, заметим, что в силу (6.18) она равна
,- , т. е. является положительным, действительным числом. Согласно
(6.19) модуль этого числа равен единице. Отсюда следует, что ф(да1)==1. Следовательно, W2 = ф (W1) = W1. Это и доказывает, что не существует двух различных функций, осуществляющих заданное конформное отображение данной области S на внутренность единичного круга.
Замечание. Сформулированные выше условия однозначного определения функции f (г), осуществляющей конформное отображение заданной односвязной области (? на внутренность единичного круга 'а>|<1, можно заменить требованием соответствия трех граничных точек границы у области S трем точкам окружности \ w\ = \.
Мы ограничимся лишь формулировкой данного утверждения, не приводя его доказательства.
Мы рассмотрели ряд основных общих свойств конформного отображения. Однако проведенные рассмотрения не дают общих рецептов решения основной задачи построения конформного отображения данной области S комплексной плоскости z на заданную область G плоскости w. В самом общем случае указать такой рецепт и не представляется возможным, для решения конкретных задач приходится прибегать к различным специальным методам. При этом большую пользу оказывает достаточно полное представление о геометрических свойствах ряда функций комплексной переменной, наиболее часто используемых при решении практических задач.
§ 2. Дробно-линейная функция
Так называется функция комплексной переменной, имеющая вид
где а, Ь, с, of —заданные комплексные постоянные, которые, очевидно, должны удовлетворять условию
164
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
так как в противном случае функция f(z) тождественно равна постоянной. Без ограничения общности можно считать, что b ф 0 и d ф О, ибо в противном случае w переходит в уже изученные линейную
функцию и функцию W = -^. Итак, можно записать (6.21) в эквивалентной форме:
^=/(*) = ^fJb « = у. ? = -d. a^?- (6-23)
Функция (6.21), (6.23) является однозначной аналитической функцией на полной комплексной плоскости z, имеющей единственную
особую точку — полюс первого порядка Z0=— j =—?. Обратная функция
(6.24)
также является дробно-линейной функцией, определенной на полной плоскости w. При этом точка Z0 = — -j = — ? переходит в точку
b
W = CO1 а точка z = со переходит в точку W0 = А = - . Найдем производную функции w=f(z):
В силу условия (6.22) производная дробно-линейной функции отлична от нуля во всех конечных точках плоскости z. Это означает, что дробно-линейная функция осуществляет конформное отображение плоскости z на плоскость w. Конформность отображения в бесконечно удаленных точках легко проверяется указанным выше способом.
В выражение дробно-линейной функции входят три произвольных параметра A, а, ?, тем самым существует бесконечное множество дробно-линейных функций, осуществляющих конформное отображение полной плоскости z на полную плоскость w. Естественно поставить вопрос об условиях, однозначно определяющих дробно-линейную функцию.
Теорема 6.9. Заданием соответствия трем различным точкам плоскости z трех различных точек плоскости w дробно-линейная функция определена однозначно.
Доказательство. Мы должны доказать, что условия
/(Z1) = W1, f¦(Z2) = w2, f (Z3) = w3, (6.26)
где Z1, z2, Z3 и W1, w2, W3-заданные комплексные числа, однозначно определяют значения параметров X, а, ?. Составим выражения
"-"-'ЫМ- <6-28>
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
165
Разделив (6.27) на (6.28), получим
W1-Wa Z1-Zo
(6.29)
Для произвольной точки z можем записать аналогичное соотношение:
(6.30)
Z1-Z
W2-W ' Z2-Z ^+ Z1'
Исключив из соотношений (6.29) и (6.30) параметр ?, окончательно получим
W1-W ш W1-W3 = Z1-Z _ Z1 - Zn (6 31)
W2-W-W2-W3 Z2-Z-Z2-Z3' ( ¦' /
Соотношение (6.31) и представляет собой неявное выражение искомой дробно-линейной функции. Очевидно, разрешив (6.31) относительно w, мы получим явное выражение коэффициентов X, а, ?, дробно-линейной функции через заданные числа гь z2, za, wh w2, W3, что и доказывает теорему.
