Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Как показывает детальное исследование, если на плоскости w задай произвольный я-угольпик (известно положение его вершин A1, A2, ..., An и углы при этих вершинах), то всегда можно задать значения постоянных С, C1 и точки аъ ап действительной оси так, чтобы соответствующим образом построенная функция (6.62) осуществляла конформное отображение верхней полуплоскости Im z > О на внутренность данного я-угольника. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого положения *), а ограничимся лишь некоторыми замечаниями и примерами.
a) OC1 < 1
б) cct>1
Рис. 6.14.
*) См., например, И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного, «Наука», 1967.
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
179
Замечание 1. В формулу (6.62) входит ряд постоянных. Однако при построении конформного отображения верхней полуплоскости Im z > 0 на заданный многоугольник A1 ... An плоскости w можно произвольно задавать лишь три точки а,-, а,-, ак действительной оси х, переходящие в какие-либо три выбранные вершины многоугольника Ah Aj, Ак. При этом остальные постоянные в формуле (6.62) определяются однозначно. Действительно, (6.62) определяет функцию
Z
f(z), связанную с функцией /(z) = Jj (? — a2)ai_ 1 ... (? — a„)an-1tf?
линейным преобразованием, представляющим собой преобразование подобного растяжения, поворота и параллельного переноса. Следовательно, если функция f(z) отображает верхнюю полуплоскость Im 2>0 на заданный многоугольник плоскости w, то функция f(z) отображает эту полуплоскость на многоугольник, подобный данному. При заданных значениях аг для того, чтобы л-звепная замкнутая ломаная, на которую отображается функцией f(z) действительная ось, представляла бы собой многоугольник, подобный данному, достаточно, чтобы п — 2 звена этой ломаной были пропорциональны соответствующим сторонам многоугольника. (Два крайних звена полностью определяются заданием их направлений.) Тем самым мы имеем и—3 уравнения относительно п постоянных at. Если произвольно задать три из этих постоянных, то остальные из соответствующих уравнений определятся однозначно. Данное обстоятельство является также следствием теоремы Римана об однозначном определении функции, осуществляющей конформное отображение односвязных областей, при задании соответствия трех точек границы одной области трем точкам границы другой области. Заметим, кроме того, что положение заданного многоугольника (заданы длины сторон и величина углов при вершинах) на плоскости однозначно определяется положением трех его вершин.
3 а м е ч а н и е 2. Мы предполагали, что все числа а; в формуле (6.62) являются положительными. При этом интеграл (6.62) сходится при всех значениях Im z ^ 0. Если какое-либо число ак отрицательно, то при z —> ак интеграл (6.62) расходится. Это означает, что соответствующая вершина Ак многоугольника A1 ... An лежит в бесконечно удаленной точке W = со. При этом величину угла при вершине Ак мы полагаем равной взятой со знаком минус величине угла между продолжением отрезков АкАк-х и AkAk+1 в конечной точке их пересечения. Как легко видеть, при таком определении угол при вершине Ак равен акл (ак < 0), и в силу условия (6.63) сумма внутренних углов полученного л-угольпика с вершиной Ак в бесконечно уда-лепной точке по-прежнему равна (п — 2) л. Данное замечание остается в силе и в том случае, когда несколько чисел ак отрицательны.
Замечание 3. При исследовании формулы (6.62) мы предполагали, что все точки at конечны. Легко освободиться от этого
180
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
условия. Введем новую комплексную переменную t, связанную C Z соотношением
г = ап-\. (6.68)
При этом точка z = ап переходит в точку ^ = со. Данное преобразование означает, что при отображении верхней полуплоскости Im t > 0 на внутренность многоугольника A1A2 ... An плоскости w бесконечно удаленная точка t = co отображается на вершину An. На комплексной плоскости t функция (6.62) имеет вид
nil IY*!-1 I 1 Vn-i-1/' IYV-1^ .
и
t
+ C1 = A J (T-^TV-' ... {х-а'п-іУп-і-Чх + Сг. (6.69)
/о
Здесь использовано соотношение (6.63) и введены обозначения a'i = (а„ — а,-Гх> = ,
A = C(an-^r1 ... (яя-^1)0Vi-'(- 1)°»-1-
Соотношение (6.69) означает, что в том случае, когда при конформном отображении верхней полуплоскости на внутренность многоугольника A1A2... An бесконечно удаленная точка t = со переходит в одну из вершин (An), это отображение осуществляется интегралом Шварца — Кристоффеля (6.69), в подынтегральной функции которого опущен множитель, соответствующий данной вершине (An). Это обстоятельство часто используется на практике, поскольку, как мы отметили выше (замечание 1), при решении задач о построении конформного отображения верхней полуплоскости 1шг>0 на заданный многоугольник плоскости w приходится, в случае большого числа вершин многоугольника, определять большое число неизвестных. Рассмотрим некоторые простейшие примеры.
Пример 1. Найти функцию, конформно отображающую верхнюю полуплоскость Im z > 0 на сектор 0 <; arg w < an, 0 < a < 2.
Так как данный сектор представляет собой многоугольник с вершинами A1(W = O) и A2(W = со), то для решения задачи можно применить интеграл Шварца — Кристоффеля. Установим следующее соответствие точек действительной оси z вершинам данного многоугольника:
