Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
или на соответствующей рпмаповой поверхности R однозначную аналитическую функцию F (z), являющуюся аналитическим продолжением функции Z1(Z).
Если аналитическая функция Zi(z) первоначально задана в области S1, то, строя различные цепочки областей, выходящие из области S1, мы можем получить аналитическое продолжение функции Z1 (г) на различные области, содержащие область S1. При этом существенным является понятие полной аналитической функции.
Функция F (z), полученная путем аналитического продолжения вдоль всевозможных цепочек областей, выходящих из области S1 первоначального задания аналитической функции Zi (z), называется полной аналитической функцией. Ее область определения R называется естественной областью существования полной аналитической функции.
Согласно только что проведенным рассмотрениям естественная область существования R полной аналитической функции F (z) может быть римановой поверхностью. Отметим, что аналитическое продолжение функции F (г) за границу Г ее естественной области существования R уже невозможно. При этом все точки этой границы являются особыми точками функции F (г). Это легко доказать. Предположим, что точка Z0 є Г является правильной точкой функции F (г). В таком случае, по определению правильной точки, внутри круга і z — z01 < р (Z0) существует некоторая аналитическая функция Ф(г), совпадающая с F (z) в общей части данного круга и области S. Но круг j z — Z0 j <С р (z0) заведомо выходит из области S, поэтому Ф(г) является аналитическим продолжением полной аналитической функции через границу ее естественной области существования, что невозможно.
В рассмотренных в предыдущих пунктах примерах мы построили ряд полных аналитических функций и их естественные области существования. Так, естественными областями существования полных
ПО аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
аналитических функций у z и Lu z являются соответственно «-листная и бесконечнолистпая римановы поверхности; естественной обласіью
существования полной аналитической функции ^ 1 — полная комплексная плоскость с выброшенной точкой Z=I; естественной областью существования функции (3.71), рассмотренной в примере 4,— единичный круг |z|<l-
При этом в последнем примере область S1 первоначального задания аналитической функции Z1(Z) такова, что невозможно аналитическое продолжение функции ZiC2) 33 границу T1 области S1. Это и означает, что Zi С2) ~ полная аналитическая функция и ^1-ее естественная область существования. Если же область S1 такова, что возможно аналитическое продолжение Zi (2O на большую область, то функцию Zi (2O называют элементом полной аналитической функции F (z). Аналитическое продолжение f2 (z) функции Zi (z), заданной в области S1, на область S2, имеющую с S1 общую часть Sn, будем называть непосредственным аналитическим продолжением функции Zi (2)-
ГЛАВА 4
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
В этой главе будет изучено поведение однозначной аналитической функции в окрестности ее изолированных особых точек. Знание этого поведения не только позволяет глубже проникнуть в природу аналитических функций, но и находит прямое практическое применение в многочисленных приложениях теории функций комплексной переменной.
В предыдущих главах мы видели, какую большую роль играют степенные ряды и, в частности, ряд Тейлора в изучении свойств аналитических функций в области, где отсутствуют особые точки исследуемых функций. Аналогичную роль при изучении свойств аналитических функций в окрестности их изолированных особых точек играет ряд Лорана.
§ 1. Ряд Лорана 1. Область сходимости ряда Лорана. Рассмотрим ряд вида
OO
JJ Cn[Z-Z0T, (4.1)
п — — оо
где Z0 — фиксированная точка комплексной плоскости, сп — некоторые комплексные числа, а суммирование ведется как но положительным, так и но отрицательным значениям индекса п. Ряд (4.1) носщ название ряда Лорана. Установим область сходимости этого ряда. Для этого представим выражение (4.1) в виде
OO OO со
2 Cn (Z - Z0Y = У Cn (Z - Z0T + У J^yn . (4.2)
п-- — со п~0 п~1
Очевидно, областью сходимости ряда (4.1) является общая часть областей сходимости каждого из слагаемых правой части (4.2) Областью
со
сходимости ряда J] сп (z — 2 о)" является круг с центром в точке Z0 некоторого радиуса R1 (как было установлено в гл. 2, значение R1
112
ряд лорлна и изолированные особые точки
[гл. 4
может, в частности, равняться нулю или бесконечности). Внутри круга сходимости этот ряд сходится к некоторой аналитической функции комплексной переменной
СО
/i (*) = 2 Cn (Z - z0T, \z-z0\< R1. (4.3)
со
Для определения области сходимости ряда V -—-~ сделаем за-
мену переменной, положив 'С,=-. Тогда этот ряд примет вид
z— ги
OO
У| с-пС". То есть он представляет собой обычный степенной ряд,
л = 1
сходящийся внутри своего круга сходимости к некоторой аналитической функции ф (Q комплексной переменной ?. Обозначим радиус
сходимости полученного степенного ряда через g-. Тогда
со
ф (O = ? с-^п> IS! < і ¦ (4-4)
Возвращаясь к старой переменной и полагая ф (? (z)) =/г (г), получим
