Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
стационарных систем.
4.2.4. Спектральное разложение. Доказать сформулированную в конце п.
4.2.2 теорему о возможности представления любой с. к. непрерывной
стационарной случайной функции спектраль-
238
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
ным разложением элементарно, не выходя за рамки применяемого в этой книге
математического аппарата, мы не можем.
Приведем доказательство теоремы о спектральном разложении для читателей,
знакомых с основами теории меры и интегрирования.
Пусть X (t)-с. к. непрерывная стационарная я-мерная векторная случайная
функция jV-мерного векторного аргумента t, kx{т) -ее ковариационная
функция, представляющая собой матрицу, элементами которой kpq{x) служат
ковариационные и взаимные ковариационные функции компонент векторной
случайной функции X (/) (п. 2.2.4). По известной теореме Бохнера
ковариационная функция kpp (т) компоненты Xp(t) векторной случайной
(йункпии X (/) как непрерывная неотрицательно определенная функция шп.
2.4.3 и 2.2.11) может быть представлена интегралом
УЗ
kpp(t)= \ е1(Л хорр (Лв),
- 00
где ог,г, (С) - неотрицательная конечная мера. Мера оРГ в этом
представлении единственна и определяется формулой обращения
г
°гпя(С) = --- lira [ k""(x) I e~m тзаЛ
Г р (2я)^т^со ррУ V
на алгебре всех множеств C^RV, для которых существует интеграл Римана
? e-^da) [102] (вып. 10). с
Определенная таким путем мера орр однозначно продолжается на о-алгебру
борелевских множеств пространства RN.
Определим в пространстве R*v случайную функцию множества
г
МЛ) = ;Т^1л'-т- f XU() \е~^* dadi.
(2я)Л г-*" ^
С. к. предел и с. к. интеграл в этой формуле существуют тогда
к только
тогда, когда существует предел интеграла
т т
Крр(А' л! $kpp (t~s) iв"*Л<u.* eiytsdvd: dS'
v ' -T -T A .3
котооый поедставляет собой ковариационную функцию случайной функции Zp
(А) (п. 2.4.5).
^ Чтобы доказать существование предела интеграла в предыдущей формуле,
подставим в нее выражение kpp(t - s), даваемое теоремой Бохнера:
II ОО
,,(Л, В)~------------ lira \ \ dids \ app(du>)x
<2x)2-v т-*¦ <в J J
' Т' 'Г -
-т -т
X je''(coT-nT) Г g-n"T-vT)Sdv,
s 4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
239
Так как функция переменных t, s, со,
f (/, s, со) = J e' ^ ' dfi ^ e~ 1 _v )s dv,
А в
для любых множеств А и В конечной меры ограничена:
\f(t, s, ш)| ^ 1(A) 1(B)
(через /(С) обозначена лебегова мера множества C?RN) и вследствие этого
интегрируема по /, s, со по множеству (-Т, T^^xR-^, то по теореме Фу-бини
(40] порядок интегрирования по t, s и по со можно изменить. В результате
получим
?> Т
Kpp('J'< В)= lim s авр (da) -i-; \ d/ ( "М- X
ту. 11 (2 л)л о J
' du X
- т л
1
(2я)Л' J
\ ds, \ аЧ,
Рассмотрим функцию
<Гт (") =
1
(2 я)-
- \ dt \ ^ ("т-р.т) с -;L_ С ^ - Д (2л)-у J
т в ds[e-l^-^U
-Т А
Так как
(2л)
(2л)-1
- Г А Т
- \ dt \ г1 ("Т-^ ' du = f П 5{П (~Г ЮГ-
дг *V Ч Xtl я(рг-сол)
du,
\ ds \ e-*("T-vTbdv =
sin (vr- соД Т
-Г 3
Xtl ЯК-Ыг)
у sin ах ,
\ dx
лх
( sin z , л ,
\ dz < 2, Va> Ь, а,
' яг
то 1 фг(со) | < 22*v, уГ > 0. Далее, по известной интегральной формуле
Фурье
lim -[ dt \ eiW-u)t, т -> ос (2п)Х J J - т .л
т
d\i -
1
(2л)л' г
- lim I dt \ \A{\i)e л Т -* 00 J J
- т - 00
?(coT-HT) ^ц = 1 д (со),
где 1 л (со) - индикатор множества А. А так как индикатор любого
множества представляет собой действительную функцию, то
240
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Следовательно, существует предельная функция
ф(ш)= lim фГ(ш) = 1л(ш) 1я(ш) = 1лв(ш).
Т -> оо
Таким образом, при любом Т функция фГ (со) мажорируется по модулю Opp-
интегрируемой функцией ф (со) = 22jV и фт-(ш) -<- ф (w) = 1 ah (ш) пРи Т
->¦ --ос. Следовательно, по теореме Лебега [40] предел интеграла в
формуле для Крр(А, В) существует и равен интегралу от предельной функции:
СС
КРР (А, В)=: ^ \А!1(ш)арр(<1ю)=орр(АВ).
- 00
Эта формула, выведенная для ограниченных множеств Л и В, в силу
непрерывности и конечности меры Ору распространяется на любые борелевские
множества А, B?RN. ^
Таким образом, случайная функция множества Zp (Л) представляет собой
стохастическую меру (ее ст-аддитивность и равенство нулю на пустом
множестве 0 следуют непосредственно из ее определения), и ее
ковариационной функцией служит мера арр, через которую ковариационная
ф:>ункция kpp (т) выражается по теореме Бохнера (п. 3.2.1).
Рассмотрим теперь стохастический интеграл (п. 3.2.2)
Yp(t)= J е""Т%(Лв).
Докажем, что он совпадает (с вероятностью единица) с центрированной
случайной функцией X°p(t) = Xp(t)- mp(t).
> Для доказательства вычислим
М I Ур (/)-*" (0 |* = М I Ур (t) Р-МУр (0 XI (/)-
~мх°р (0У7(0 + м|х" (0 р.
Найдем каждое слагаемое в правой части по отдельности.
Обобщая рассуждение п. 3.2.2 и имея в виду, что в данном случае
ф (/) = е"° i, получаем
00
м I Ур (0 р = 5 | e,mT< I2 Стрр (dffl) = kpp (0) =М | Д" (/) р.
Для вычисления MYp{t)X^{t) найдем сначала MZp (А) Х°р (t): Т
MZ" (A) XJ(F) =_L_ lim С MX° (s) ХМТ) Сфds =
р (2я)-^ Гсо ^ Р J
§4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
