Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
241
Интеграл в этой формуле вычисляется совершенно так же, как интеграл в
формуле для Крр(А, В). В результате получим
Т а> -iaTt
MZp {А) Х°177= lim f ds f OpP (dto) -g " f el s dp =
и Г->00 J J (2л)^у J
-7 -o> v 7 Л
cc Г
- e_,a / \ app(dco) lim -!- Г ds Г e - ^ ^s rfpt =
J PPy т-+*(2л)Х d J
~ cc - 7 A
~ш * J 1.4 (co) app (da) = e i<i,TtOpp(A)
MK, (0 X°P (0 = S e'"T< -Wz/- (dw) (0 = S аяя (da) = kpp (0).
- CO - cc
А так как эта величина действительная (положительная), то
мх*ц)Т^Щ = крр (0).
Таким образом,
М | Yp (t)-X°p(t) |2 = kpp (0)-kpp (0)-kpp (0) + kpp (0) = 0.
Следовательно, Yp (1)== X°p (0> и мы получаем спектральное разложение
случайной функции Xp(t):
СО
Хр (0 = тр (0 + 5 е1и>Т* Zp (da). <
- СО
Вводя векторную стохастическую меру Z (А) = [Zi (А).. .'Zn (А)]г,
получаем спектральное разложение с. к. непрерывной стационарной векторной
случайной (функции X (t):
X(f) = mx(t)A- ^ ешТ( Z (da).
Обобщая рассуждения п. 3.2.2 и принимая во внимание, что в данном
случае ср (t) = Iela t, где / - единичная матрица порядка я, находим
спектральное разложение ковариационной функции случайной функции X (t):
СО
А*(т)= J ^хах(йа), (1C* '
- СО
где ох(АВ) - ковариационная функция стохастической меры 2 (А),
Т Т
ах(АВ) = -!- lim Г С kx (t - s) Г е~щ 1 dp. С eiv s dv dt ds. (2п)ЫгТ-+&
^ jjt J J
Из доказанного выше существования диагональных элементов матрицы ох
вытекает и существование всех ее элементов (п. 2.4.5).
Матричная функция множества сг* (С) называется спектральной мерой
случайной функции X (t). Ее диагональные элементы арр (С) представляют
собой спектральные меры компонент векторной случайной функции X (t).
242
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
НедиЕГОнальный элемент, apq (С) матричной функции av (С) называется
взаимной спектральной мерой случайных функций Хр (t) и Xq (t).
Если спектральная мера ах (С) стационарной случайной функции X (t) может
быть представлена в виде интеграла
(С) ^ \ sx (о) Жо,
С
то формулы, связывающие kx (т) и ах (С), дают
JC
кх (т) = \ s... (со) е'м т da,
- Я
Т
sx (со) = --- lim \ Д. (т)е_ио 1 Ет.
|2л)л т -*¦ о
Эти формулы представляют собой обобщение формул (16) и (17) на
стационарные векторные случайные функции векторного аргумента. Функция sx
(ш) представляет собой спектральную плотность стационарной случайной
функции Л' а).
В задачах практики всегда существует спектральная плотность стационарной
случайной функции, возможно содержащая линейную комбинацию 6-функций.
Таким образом, любая с.к. непрерывная стационарная случайная функция X
(t) (скалярная или векторная, скалярного или векторного аргумента t)
может быть представлена спектральным
разложением
оо
X(t) - tnx(t)X ] eicot* Z (da), (19)
- 00
а ее ковариационная функция kx(x) и спектральная плотность sA.(a))
связаны взаимно обратными преобразованиями Фурье (16) и (17), в которых в
случае А-мерного векторного аргумента t (и соответственно /7-мерного
векторного аргумента со) произведение сот заменяется скалярным
произведением сотт, а множитель 1/2л заменяется множителем 1/(2я)^.
Диагональные элементы s^co) спектральной плотности s*(co) векторной
случайной функции X (t) представляют собой спектральные плотности ее
компонент X), (/), а недиагональный элементspq (со) называется взаимной
спектральной плотностью компонент Хр (tj п Xq(t) векторной случайной
функции X(t).
Спектральное разложение (16) (точнее, более общее разложение (16*))
ковариационной функции стационарной случайной функции было впервые
получено Н. Винером [11] и А. Я. Хинчиным [75]. Поэтому формулы (16) и
(17) обычно называются формулами Винера - Хитина. Спектральное разложение
стационарной случайной функции впервые получено Г. Крамером [42] и А. Н.
Колмогоровым [39].
§ 4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
243
Очевидно, что спектральное разложение (19) стационарной случайной функции
представляет собой ее интегральное каноническое представление (п. 3.2.3).
В этом случае параметр т в формуле (3.24) имеет смысл частоты колебаний
(или вектора частот колебаний) и в соответствии с этим обозначается со,
g(', со) = - Ieiч> ^ Где / - единичная матрица, a v (со) = sx (со).
В случае скалярного аргумента t стохастическая мера Z (С) определяет
процесс с некоррелированными приращениями
( Z ([0, со)) при со > О,
Ц7(со) = | 0 при со =0,
\ -Z([co, 0)) при со < 0,
и интегрирование по мере Z (С) в (19) равноценно интегрированию по
процессу W (со):
X(t) = mx(t)+ \ еш dW (со)
(20)
Формула (20), так же как и (19) при N-1, определяет спектральное
разложение стационарного случайного процесса, а формула (19) при N > 1-
спектральное разложение однородного случайного поля.
В технической литературе, следуя обычаю представлять стохастические
интегралы как интегралы, содержащие белый шум, формулы (19) и (20)
записывают в виде
X(t) = mx(t)d- 5 V (со) el(i,Tt с/со.
- СО
При этом спектральная плотность s^co) представляет собой интенсивность
белого шума V (со).
Пр имер 11. Для стационарной случайной функции с показательной
