Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3.11) определяется формулой
CD СО
Kx(tl,t2)= ^ еш'¦e~k'lf!sx(ai)d& = ^ e1M^t_6)sY(со)с/со
- СО - 00
(в данном случае ср (со) = еш', ф (со) = еш\ v (со) = sx (со)). Отсюда
видно, что случайная функция X(t) стационарна, и ее ковариационная
функция определяется формулой (16). В частности, при т = 0 из (16)
вытекает формула для дисперсии случайной функции X (?):
ос
Ас = S Sx (со) ^СО.
- СО
Эта формула показывает, что дисперсия случайной функции X(t),
определяемой формулой (15), конечна тогда и только тогда, когда функция
вл(со) интегрируема (напомним, что согласно определению в п. 3.1.1
функция Sj.(co) неотрицательна). Но это условие необходимо также для
существования стохастического интеграла (15) (п. 3.1.2).
236
ГЛ. I. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Из интегрируемости функции sx (со) следует возможность ее представления
интегралом Фурье:
Т оо
S* = о"" Г С sx(\i)el (1Л~ШХ d\x.
Т-+ да J v
- Т - оо
Отсюда в силу (16) вытекает формула
т
¦S*№ = W I кх(х)е~ЫХ(*Х-
Т (r) _Г
Эту формулу обычно записывают в виде (17), понимая интеграл как главное
значение интеграла в смысле Коши [41]. Если ковариационная функция kx (т)
абсолютно интегрируема, то интеграл в (17) можно понимать в обычном
смысле.
Из интегрируемости функции sx (со) и формулы (16) следует, что
ковариационная функция kx(r) стационарной случайной функции X(t),
представимой стохастическим интегралом (15), непрерывна. Это значит, что
случайная функция X (/) с. к. непрерывна (п. 2.4.3).
Таким образом, все стационарные случайные функции, представимые
стохастическим интегралом (15), с. к. непрерывны.
Если sx(со) представляет собой обычную функцию, не содержащую линейной
комбинации б-функций, то случайную функцию X(t), определяемую формулой
(15), можно рассматривать как составленную из некоррелированных
гармонических колебаний всех частот со с бесконечно малыми случайными
комплексными амплитудами dW (со), имеющими дисперсии, соответственно
равные sx(co)dco, т. е. как стационарную случайную функцию с непрерывным
спектром. Если sx (со) содержит линейную комбинацию б-функций, то
случайная функция X (t) представляет собой стационарную случайную функцию
с непрерывно-дискретным спектром.
Формула (15) определяет широкий класс с. к. непрерывных стационарных
случайных функций, которые можно составить из некоррелированных
гармонических колебаний различных частот. Естественно возникает вопрос:
насколько широк этот класс? Ответ на этот вопрос будет дан в п. 4.2.4.
Оказывается, что этот класс совпадает с множеством всех с. к. непрерывных
стационарных случайных функций: любая с. к. непрерывная стационарная
случайная функция с нулевым математическим ожиданием может быть
представлена стохастическим интегралом (15). Это представление в
соответствии с его физическим смыслом называется спектральным разложением
стационарной случайной функции.
4.2.3. Спектральная функция и спектральная плотность. Из формулы для
дисперсии стационарной случайной функции X(t), вытекающей из (16) при
т=0, и формулы (18) следует, что функ-
§4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
237
ции sx (со) и Sx (со) характеризуют распределение дисперсии случайной
функции X (г1) по спектру частот. Вследствие этого функция Sx (со)
называется спектральной функцией, а ее производная sx (со) - спектральной
плотностью стационарной случайной функции X (/).
Формулы (16) и (17) показывают, что ковариационная функция и спектральная
плотность стационарной случайной функции связаны взаимно обратными
преобразованиями Фурье.
На практике иногда частоту измеряют в герцах и обозначают ее буквой /.
Принимая во внимание соотношение между частотой со, измеренной в с-1, и
частотой f, измеренной в Гц, со = 2я/, формулу (16) для ковариационной
функции стационарной случайной функции X (/) можно переписать в виде
со
kx{x) - 2n sx{2nf)e2m*df.
- со
В этом случае спектральной плотностью стационарной случайной функции X
(г) называют функцию ох (/) = 2nsx (2л/). При этом предыдущая формула
принимает вид
со
Мт) = $ (Д (/) е2ш7М/,
- оо
а формула (17) дает
оо
сД(/) = s kx{x)e-^xdx.
- 00
Очевидно, что произведенное преобразование спектральной плотности
представляет собой не что иное, как переход к другой единице измерения
частоты. Действительно, если sx (со) постоянна в некотором диапазоне
частот, то s.,. (со) представляет собой суммарную дисперсию всех
гармоник, приходящихся на полосу частот шириной 1 с-1, а оx(f)-суммарную
дисперсию всех гармоник, приходящихся на полосу частот шириной 1 Гц =
2яс-1. При этом величина sx(a))dm = ax(f)df равна дисперсии случайной
величины dW (со).
Вследствие того, что ковариационная функция и спектральная плотность
стационарной случайной функции связаны взаимно однозначной зависимостью
(16) и (17), за характеристику стационарной случайной функции часто
принимают ее спектральную плотность вместо ковариационной функции. Это
особенно удобно при применении частотных методов исследования
