Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
зависимость между этими двумя величинами. С этой целью рассмотрим
случайные процессы с полосовыми спектрами. Так обычно называются
стационарные случайные процессы, у которых спектральная плотность
постоянна в ограниченной полосе частот и равна нулю вне этой полосы.
Предположим, что спектральная плотность действительной стационарной
случайной функции постоянна и равна s0 в интервале
частот
(соь ш2) и соответственно в интервале (-со2, -wi) и равна нулю
вне этого
интервала:
{ S0 При СОх < СО < Шо И - а>2 < О) < -0)1,
| 0 при ш < сох и со > ш2.
Подставив это выражение в (16), находим
со, -с- со2 т cos -Ь- т.
- 0)j С02 co2
kx (т) = "о $ e?"Tdco-!-^ ешЧы =. 2s0 \ cos сот dco -=
_ - (02 COi (0i
2s0 / • * ч = (sin C02T-s,n c°iT) - 4s0 . CO] -sin T
2 2
В частном случае, когда щ1 = 0, co2 = Q, полученная формула принимает вид
кх (т)= s^n (2т.
Вычислим интервал корреляции процесса с полосовым спектром и
интенсивность аппроксимирующего его белого шума:
тк = 2я/П, v = 2ns0.
Таким образом, первая из этих формул показывает, что интервал корреляции
процесса с полосовым спектром обратно пропорционален ширине полосы
частот.
250
ГЛ. А. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 4.3. Линейные операции над стационарными случайными функциями
4.3.1. Спектральные плотности производных. В п. 4.1.4 было показано,
что производная с. к. дифференцируемой стационарной случайной функции
стационарна. Найдем спектральную плотность с. к. производной порядка р
стационарной случайной функции X{t). Согласно (1) ковариационная функция
производной Х{р] (t) определяется формулой
kx<P>(r) = (~lyk^>(r).
> Продифференцировав формулу (16) по т 2/7 раз, находим
со ос
Rxp) (т) = i2p 5 ti>2Psx (ш) e"°T ^0) = (- 1 )р \ (,:>2psx (со) eiax
diii.
- CD - СО
Подставив это выражение в предыдущую формулу, будем иметь
00
&А.<Р)(т)= со2^ (со) el'mTdio.
- со
С другой стороны, ковариационная функция производной (()
выражается через ее спектральную плотность sx(p) (со) формулой (16)-
Следовательно,
¦35
kxip>(т) = i s^p) (со) е''штс/со.
- со
Сравнив эту формулу с предыдущей, находим
S^P) (со) = со2* s* (со). < (22)
Таким образом, дифференцирование стационарной случайной функции приводит
к умножению ее спектральной плотности на со2.
Пример 20. Спектральная плотность с. к. производной случайной
функции примера 12 согласно (22) определяется формулой
/ s ¦> / ч 2D "3Ш2
Sr, (со) =C0-Sx (со) = - 7-J-------5-5-.
х'к ' х ' я (а2 + со2)2
Пример 21. Спектральная плотность с. к. производной случайной функции
примера 15 в соответствии с (22) определяется формулой
, \ 2 < \ 2D сф2ш2 "" " ,
sr Лш) =со (со) =---------------7-~-------------------. Р - а
* Л р4-|-2 (а2-шо) ш2+ш4 0
Пример 22. Спектральная плотность второй с. к. производной случайной
функции примера 13 определяется формулой
8 D а6со4
§ 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ
251
Легко понять, что признаком существования с. к. производной порядка р
стационарной случайной функции X (t) служит интегрируемость произведения
ее спектральной плотности sx (со) на соВ случае рациональной спектральной
плотности sx(со) с. к. производная Х{?) (t) существует тогда и только
тогда, когда степень знаменателя sx(co) превышает степень числителя не
меньше, чем на 2p-f2.
4.3.2. Стационарные линейные системы со случайными входными
сигналами. Рассмотрим устойчивую стационарную линейную систему с
передаточной функцией <D(s), входным сигналом которой служит стационарный
случайный процесс X (t) со спектральной плотностью (со). Докажем, что
выходной сигнал Y (t) этой системы в установившемся режиме, т. е. при
бесконечно долгом (практически достаточно долгом) действии входного
сигнала, представляет собой стационарную случайную функцию, и найдем его
спектральную плотность.
> Представим случайный процесс X (t) спектральным разложением (19):
СО
X(t) - mx(t)d~ \ еш dW (со).
- СО
На основании принципа суперпозиции этому спектральному разложению
соответствует спектральное разложение выходного сигнала
сс
Y (t) = ту (i) ^ еш Ф (но) dW (со).
- 00
По формуле (3.15) находим ковариационную функцию случайной функции Y (/):
00
, t-i)- jj еш'еш> Ф (fco) sx (со) Ф (гсо)* du> =
Г (23)
_ (j еш (n-tt) ф Sx ^ ф (г'ю)* doo - 00
(в этом случае cp (co)=e'w* Ф (гсо), ф Ф (гсо), v (co)=sx (со)). От-
сюда видно, что выходной сигнал рассматриваемой системы в установившемся
режиме представляет собой стационарную случайную функцию времени.
Сравнив полученную формулу с (16), приходим к заключению, что
спектральная плотность выходного сигнала системы У (i) определяется
формулой
sy (со) = Ф (гсо) sx (со) Ф (гсо)*. <4 % (24)
252
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
В частном случае одномерной системы формула (24) принимает
вид
sy(co) = |°(ico)|2s.v("). (25)
Легко видеть, что полученная в п. 4.3Л формула (22) для спектральных
плотностей производных стационарной случайной функции представляет собой
частный случай формулы (25) при ф (/со) = (tco)^. Это вполне понятно, так
