Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
смысле случайной функции X (t). Можно доказать, что условие (II) является
не только достаточным, но и необходимым условием стационарности в узком
смысле случайной функции X (/). Если потребовать, чтобы случайные
величины U, V были не только не коррелированы, но и независимы, то
необходимым и достаточным условием стационарности в узком смысле
случайной функции X (t) является нормальность распределения случайных
величин U, V.
Пример 3. Случайная функция
П
X (t) == 2 (^V cos cov / v V'v sin tov I) v= 1
ковариационно стационарна, если t/j, V..., Un, Vn - некоррелированные
случайные величины с математическими ожиданиями т% и т? и попарно
одинаковыми дисперсиями DUV = DVv ----- Dv . Ковариационная функция
случайной функции X (t) в этом случае определяется формулой
2 Dv cos cov т, v- l
Можно показать, что если случайные величины Uv и Vv распределены
нормально, то случайная функция X (/) будет стационарна в узком смысле.
Если распределение Uv и отлично от нормального, то случайная функция X
(t) не обязательно стационарна в узком смысле. Этот пример имеет
практический интерес, поскольку каждую ковариационно стационарную
случайную функцию с конечной дисперсией можно аппроксимировать линейными
комбинациями гармоник со случайными коэффициентами.
§ 4.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 225
4.1.3. Стационарно связанные случайные функции. Случайные функции X
(/) и Y (/) называются стационарно связанными, если их взаимная
ковариационная функция зависит только от разности аргументов:
Кх, (tu /,) = kx;i (т), т = Д С,.
Стационарно связанными могут быть как стационарные, так и нестационарные
случайные функции. Стационарные случайные функции могут быть как
стационарно связанными, так и нестационарно связанными.
Из свойства (2.29) взаимных ковариационных функций следует, что взаимные
ковариационные функции kxu(r) и k,ix(x) двух стационарно связанных
случайных функций X'(t) и Y (7) связаны соотношением
kxy(i) = k!iX(-xy.
В частном случае для действительных скалярных случайных функций X (t) и Y
(/) это соотношение принимает вид
K;j^) = k,!X(-x).
Очевидно, что векторная случайная функция стационарна тогда и только
тогда, когда все ее компоненты являются стационарными и стационарно
связанными случайными функциями.
Пример 4. Случайные функции
X (/) = Z sin со/4- U cos соt, Y (l) = Z cos со/ - U sin со/
стационарны и стационарно связаны, если случайные величины Z и U не
коррелированы и имеют одинаковые дисперсии D, так как в этом случае их
ковариационные функции и взаимная ковариационная функция
kx (т) = ky(x)=D cos сот, kxy (т) = D sin сот
зависят только от разности аргументов.
Пример 5. Пусть Z, U и F - некоррелированные случайные величины с
одинаковыми дисперсиями D. Очевидно, что случайные функции
X (t) - Z sin otp-U cos со/, Y (t) = Z sin со/ф-У cos со/
стационарны, так как их ковариационные функции определяются формулой
примера 2. Однако эти случайные функции нестационарно связаны, так как их
взаимная ковариационная функция, равная
КХу (ti, Д) = D sin соД sin со/2>
зависит от аргументов Д и Д по отдельности.
Пример 6. Пусть теперь X (/)-произвольная стационарная случайная функция.
Случайные функции
Y(t)=eMX (/), Z(t) = e-MX(t) нестационарны, так как их ковариационные
функции Ky(h, Д) =ем + (Д - Д),
К Ah, Д)=е-М('1 + '2,МД-Д)
226
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
не являются функциями разности аргументов tx и t2. Однако эти случайные
функции стационарно связаны, так как их взаимная ковариационная функция
Kyzih, U)=^xkx{t), x = h-tit зависит только от разности аргументов.
4.1.4. Дифференцирование стационарных случайных функций.
Из общих формул п. 2.4.4 для математических ожиданий и ковариационных
функций производных случайной функции вытекают соответствующие формулы
для стационарных случайных функций. Пользуясь формулой (2.56), находим
ковариационную функцию первой производной X' (t) стационарной случайной
функции X(t):
(И, Ъ) = - К (т), т = U - U.
Отсюда видно, что производная стационарной случайной функции также
стационарна. Аналогично, по формуле (2.59) при
q - p находим ковариационную функцию производной Xip) (t) порядка р
стационарной случайной функции:
V"(*1, A) = = {-\)pkT(т) (р = 0, 1,2, ...).
л dt\ dt-2
Таким образом, все производные стационарной случайной функции являются
стационарными случайными функциями, причем
ковариационные функции производных определяются формулой
^)(х) = (-1 (р =1,2,...). .(1)
Таким образом, для существования производной порядка р стационарной
случайной функции необходимо и достаточно су-шествование производной
порядка 2р ее ковариационной функции.
Пользуясь формулой (2.59), можно определить взаимные ковариационные
функции производных различных порядков стационарной случайной функции:
/*)- = (~1)? (т) (Р, 47 = 0, 1, 2, . . .).
Таким образом, производные стационарной случайной функции являются
стационарными и стационарно связанными случайными функциями, причем их
