Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
как производную Х{р) (t) можно рассматривать как выходной сигнал системы,
осуществляющей р-кратное дифференцирование входного сигнала X(t). В
соответствии с результатами пп. 1.2.9 и 1.3.6 такая система стационарна и
ее передаточная функция равна 0(s) = s^.
Найдем теперь взаимную ковариационную функцию входного и выходного
сигналов системы. По той же формуле (3.15) находим
00
KxyVu t2)= I eia^-t'-'isx((o)Q>(m)*d(o
- со
(в данном случае cp(co) = eto^, ф (со) - еш- Ф (ко), v (со) = s* (<"))-
Отсюда видно, что входной и выходной сигналы в установившемся режиме
стационарно связаны. Из (16) следует, что взаимная спектральная плотность
входного и выходного сигналов системы определяется формулой *)
"*"(") = s* И (26)
Формулы (24)-(26) справедливы только для устойчивых стационарных систем,
работающих в установившемся режиме, т. е. при бесконечно долго
действующем стационарном входном сигнале. Практически формулы (24)-(26)
применимы, когда время действия входного сигнала превышает время
переходного процесса. Следует заметить, что если система описывается
дифференциальным уравнением и, следовательно, ее передаточная функция
рациональна, то выходной сигнал может быть стационарной случайной
функцией и при любом времени работы системы при специальных начальных
условиях. А именно, случайное начальное значение П(г'0) = П0 следует
выбрать так, чтобы ковариационная матрица случайного вектора Z (t) = [X
(ty Y (/)т]т не зависела от I. Для этого достаточно взять случайное
начальное значение Y0, ковариационная матрица которого равна
00
K". = k"(0)- $ Ф (гсо) sx (со) Ф (id))* da,
*) Чтобы применить формулу (16) для вычисления взаимной спектральной
плотности, следует рассмотреть составную векторную случайную функцию Z
(t) = [X (ty Y {tyy и написать формулу (16) для соответствующих блочных
матричных функций kz (т) и sz (ш).
s 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ
253
а взаимная ковариационная матрица которого с начальным значением входного
сигнала X (/") = Ха равна
00
(°) = s Sx{fn)0(ia)*da.
- X
Однако вероятность осуществления этих начальных условий в реальных
системах практически равна нулю.
Пример 23. Найти спектральную плотность выходного сигнала У стационарной
линейной системы с одним выходом и двумя входными сигналами Хг и Х2,
представляющими собой стационарные и стационарно связанные случайные
функции. Найти также взаимные спектральные плотности выходного сигнала со
входными сигналами.
Пользуясь формулой (24), находим спектральную плотность случайной,
функции Y на выходе системы:
sy(co) = [<Du(?co) Ф12 (ico)] sx (со) [Фц (ico) (r)i2(i<B)]T =
- Sn (со) | Фц (ICO) |3 S12 (со) Фц (iCo) (r)i2 (l'Cо) -f
s*i (со) Ф12 (ico) Фц (ICO) + S22 (со) | (r)i2(ia>) j2,
где sfi(co), sf2 (со) - спектральные плотности входных сигналов Xt и Х2,
s 12 (со) и s*i (со) - sf2 (со)-их взаимные спектральные плотности. Для
определения взаимных спектральных плотностей входных сигналов с выходным
воспользуемся формулой (26):
Sxy (со) = [sXly (со) sX2y (coj]T = sx (со) [фц (ico) Ф12 (?со)]т, или, в
скалярной форме,
sxlV (со) = sfi (со) Фц (ico)4- sf2 (со) Ф12 (ico), sx,y (со) = s2i (со)
Фц (?со)- s?> (со) Ф12 (ico).
В частном случае, когда входные сигналы Хг и Х2 не коррелированы S12 (со)
= s2i (со) = 0 и полученные формулы принимают вид
Sy И =sfi (со) I Фц (iw) I2 +s2* (со) | 2 (ico) I2,
sx,y (co) = su (со) Фц (ico), sX2y (co) = s22 (со) Ф]2(?со).
4.3.3. Вычисление дисперсий и ковариаций компонент сигналов. В
задачах практики часто можно ограничиться первыми и вторыми моментами
значений компонент выходного сигнала системы в каждый данный момент
времени /. Для вычисления дисперсий и ковариаций компонент выходного
сигнала устойчивой стационарной системы, работающей в установившемся
режиме под действием стационарного входного сигнала (практически при
Достаточно долгом действии входного сигнала), в каждый данный момент
времени t достаточно положить в формуле (23), определяющей ковариационную
функцию выходного сигнала (1 = (2 = /. Тогда получим следующую формулу
для ковариационной матрицы значения выходного сигнала в момент t:
00
А"(0)= J Ф (гсо) s* (со) Ф (гсо)* da. (27)
254
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Для нахождения дисперсий и ковариаций компонент выходного сигнала по
формуле (27) в задачах практики приходится вычислять интегралы от
рациональных функций. Для вычисления таких интегралов удобно пользоваться
формулой
ОС
\ t<> (ко)2п~3-г • ¦ ¦ -Ь2п-1 (to)- Ьгп--2 , .
, я Рп
J )co(iw)"+ai(iw)'i'1- ••• (iw)-f ап\2 ' ' а0 Д" '
(28)
ГЛ0
c11 Ci2 Cln bo Cl.2 ¦ ¦ ¦ Clrt
C21 Co'2 С2П . Dn = Ь-2 С 22 • ¦ ¦ C'2n
CTll CTi2 ^nn bzn-2 Cn-2 ... Cnn
Cpq = = a2 p-q при 0 <2 p - q 'tl,
Cpq-~ -0 при 2p - q<0 или 2 p - q> n.
Для применения формулы (28) необходимо представить числитель в (27) в
виде полинома относительно ш, а знаменатель выразить как квадрат модуля
полинома относительно т с положительными коэффициентами а0, аи ап.
Формулой (28) можно также пользоваться и для вычисления ковариаций
