Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ковариационной функцией kx (т) - De~a'т 1 формула (17) дает следующее
выражение для спектральной плотности:
ас "- 0 со
/ , D Г
sx (ш) = тдр \
D
2 л
^ е(а-?и)т
D
2 л
dx+ С е-^ + Ш)х
а- кв 1 а+ с со
dx
D
Таким образом, показательной ковариационной функции kx(x) - De'
с0.
ответствует спектральная плотность
SX (Ш) - л а2 _|_ щ2
Пример 12. Спектральная плотность, соответствующая ковариационной функции
примера 7, на основании (17) определяется формулой
244
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Для вычисления этого интеграла положим
00
I(a)=~ f g-a|t|-icotdT
- CD
Дифференцируя эту формулу по параметру а, получим
СО
1 ИР-"1(tm)1"*.
- 00
Ha основании этих формул
s.t (ш) - I (а) - (а)-
Подставив сюда выражение / (а), полученное в предыдущем примере,
СО
/(") = #- \ e-a^-imdx = - " ,
' 2л J л аг + в-
- СО
•находим
. . 2D а3
s*(w)
я (а2 -{- со2)2'
Пример 13. Аналогично вычисляется спектральная плотность, соответствующая
ковариационной функции примера 8:
00
= е~а1х 1 -фа | г 1 + 4- а2т2'j dx=J (а) -а/' (а)ф|а2/'(а).
- 30
Подставив сюда выражение 1(a), полученное в примере 12, находим
. 8D а5
s*(w)- Зл (а2-j-to2)3
Пример 14. Для показательно-косинусной ковариационной функции kx (т)=
I cos ш0т по формуле (17) находим
СО
sx(co) = -^ g-altl-иот cos (о0т^т =
i- о
D 4л
j* g(a- ico д ?co0)T ^ ^ е(а-1ш-ш0)т
^ e-("- tw-iWi>)T dxj_ ^ g-(a-icof?(o0)T^T 0 0 Отсюда после вычисления
интегралов получаем
t Da Р2 + ш2 0, , ,
sv(co) =------------------------------, R- = OC2"-(02
л p4j_2(a2- ш^)(02ф-0Д 0
Пример 15. Для более общей ковариационной функции (5) совершенно
аналогично находим
" D (а~гУЫо) (32 + (а - ущ) со2
§1.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
245
Очевидно, что формула предыдущего примера является частным случаем этой
формулы при у = 0. В другом частном случае, когда у = а/м0, имеем
2Dct Р2
sA- (ш) ^
л Р4 + 2(а2-coo)co2-j-w4
, Р2 = а2
Этот частный случай имеет особое практическое значение, так как он
соответствует с. к. дифференцируемой случайной функции X (t). На рис. 13
показаиы графики полученной спектральной плотности при различных
значениях у.
Решим теперь обратную задачу: считая заданной спектральную плотность,
найдем по формуле (16) ковариационную функцию
" 'Т) ?
а у (аз сор) шт а2 г(м - а>0)2
dco-f- ^
а + 7 (to-f сор) а2 + (м + м")2
' асо
Заменой переменных ш=|Л-]-ш0 в первом интеграле и со = р - ш0 во втором
интеграле полученная формула приводится к виду
?дг(т) =
D
л
1 е
a cos со0т \ -5--4-17 sin Q)nX J
d\i
: dj-i.
Отсюда, принимая во внимание, что
e,tiX dfx л | х | С d/х
а2-фр2
те при
а2 + р2 (_;ле-а|т|
т
при т
получим, как и следовало ожидать, формулу (5).
Пример 16. Найти взаимную спектральную плотность стационарных и
стационарно связанных случайных функций X (t) и Y (t), взаимная
ковариационная функция которых определяется формулой
kxy (х) = Се~а Iт I sin со0х.
I. -1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Согласно (17) взаимная спектральная плотность компонент X (t) и Y (t)
стационарной векторной случайной функции [X (t) Y (?)]т выражается через
их взаимную ковариационную функцию формулой
\ кху(х)е 1а'Т^т = "^' \ е ШТ sin dr -
о
С
ш
^ еал : г'шоТ- t'toT ^ е-ат + "а0т-?шт u
О
dr- \е "т ,MtdT
о
выполнив интегрирование, получим
2С iacocoo
P4-f2(a2 - coo) со
( \ VC^VJJVJJQ D0 о Г 2
у (ш) - " , , " /-;---------у;-г--:-' Р- = к -рШо-
Эта формула показывает, что взаимная спектральная плотность
действительных случайных функций может быть комплексной.
Пример 17. Найти взаимную ковариационную функцию случайных функций
Y(t) = X (t) -f Хг (0, Z (t) = X(t) +Xt (t),
где X (t), Xi (t) и X2 (t) - некоррелированные стационарные случайные
функции с известными ковариационными функциями. Показать, что случайные
функции Y (t) и Z (?) стационарно связаны, и найти их взаимную
спектральную плотность.
По определению взаимной ковариационной функции имеем
Kyzih. t)=MY° {t) Z* {t2)* = MX* {t) Х° {t2)*.+
+ MX\ (t) X° (t2)* + MX° (t) X2° (t)* -\-MX\ (t) xS (t)\
или, так как случайные функции X (t), Xi{t) и X2{t) не коррелированы,
Куг (П, t2) =МХ° (t) Х° (t2)* = kx (h-t).
Отсюда видно, что случайные функции Y (t) и Z (?) стационарно сзязаны и
их взаимная ковариационная функция совпадает с ковариационной функцией
случайной функции X (?). Следовательно, и взаимная спектральная плотность
случайных функций Y (t) и Z (t) совпадает со спектральной плотностью
случайной функции
svz (со) = sx (со).
4.2.5. Свойства спектральной плотности. В соответствии с общими
свойствами интенсивности процесса с некоррелированными приращениями и
соответствующего белого шума спектральная плотность sx(oj) стационарной
случайной функции X (t) неотрицательна в случае скалярной X (t) и
представляет собой неотрицательно определенную матрицу в случае векторной
X(t).
Второе и третье свойства спектральной плотности действительной
стационарной случайной функции вытекают из второго свойства
ковариационной функции
М-т) = Мт )т-
