Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
компонент входного сигнала с компонентами выходного сигнала по формуле
00
kXy (°) = S s, И Ф (tea)* dm. (29)
__ се
Пример 24. Найти дисперсию случайной функции, спектральная плотность
которой определяется формулой примера 11. По формуле (27) на ходи.м
D _ Г Da Г da
х~ л J сс2 + ш2 л J |ico+a|2'
- 00 - СО
В данном случае л=1, a0=l, ai = c?, b0=l, Сц = а1 = а, А1 = с11 = а, D1 =
fc0 = l и формула (28) дает
СО
Г dco л
J | т+а I2-- а '
- 00
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получаем, как и следовало
ожидать, DX = D.
Пример 25. Вычислить дисперсию случайной функции, спектральная плотность
которой определяется формулой примера 15.
Имея в виду, что
Р4 j- 2 (a2 -coo) co2 + co4 = [a2 + (co - ш0)2] [a2 + (co-j-co0)2] =
= | a -J- i (со - co0) |2 | a -j- i (co -f co0) |2 = | a2 4- ia (со -f-
co0) +
-j-icx (co -co0) + i2 (со-co0) (co-j-co0) |2 = | a2 + 2a (iw)-t--j-i2
(co2- coo) I2 = ((ico)2 + 2a (ico)-f a2 + coo |2 = | (too)2-f 2a (ico)-f-
(3212, (a-j-ywo) (52 + (a - yw0) w2 = (a + yco0) P2 - (a - yw0) (t'co)2,
ЗАДАЧИ
255
находим
a С (" ~Vu)t>) +(" ~ Уа°)щ2 -
л з р4-|-2(а2-coo)co2 + co4
. (ц _ Тсо0) (ко0)2 4- (и + уозр) Р2 | (tu))2-|-2a (tco) -[- Р212
В данном случае п = 2, а0=1, и¦ ". а2 = Р2, 60 - -a-rYwo> bj=(a-Cji -ai -
2а, с12 = а0-1, с21 = 0, с2-> = а2 = (52,
206 ! 2сф2, D-,-
А.,=
О
- а + ушо 1 (а + усо0)Р2 р2
Следовательно, согласно (28)
00
Г - (а - ущ) (tco)2-f (аД-усрд) ft2 J | (tai)2-f-2a (ico) + P2 |2
, - я - 2аР2
A>ol Р
Подставив это выражение в формулу для Dx, получаем, как и следовало
ожидать, DX = D.
П р и м е р 26. Ковариация значений стационарных и стационарно связанных
действительных случайных функций X {t) и Y (t) примера 16 в данный момент
t равна нулю, так как в этом случае п - 2, b0-~:b2= 0 и, следовательно,
Ьа Си
b2 с22
D,
= 0.
ЗАДАЧИ
4.1. Показать, что для стационарных случайных процессов с
ковариационными функциями
De а Iт ' (1 -[-а [ т |) и De " I т 1 ^ 1 -фа | т |
т
интенсивности эквивалентного белого шума соответственно равны 4?}д и
16D/3a. Вычислить интервалы корреляции.
4.2. Показать, что для процесса, приводимого к стационарному и
определяемого формулой (6), интенсивность эквивалентного белого шума и
время корреляции равны
СС
V(0 = M0 \ bi (/-рт) кх (т) dx, тк4шх.
2 < 6П0М0)'
Вычислить v (t) и тК Для процесса, определяемого формулой (9).
4.3. Показать, что для процесса в примере 4.10 интенсивность
эквивалентного белого шума и время корреляции равны
... 4Dat ""f 2аt .
v(f) = Wl7e'' ' TK^mfX 4ct2^2 - |x2
4.4. В условиях примеров 1.3-1.5, 1.12-1.14 найти спектральную плотность
sz (со), взаимную спектральную плотность sx2 (со), дисперсию Dz и
ковариацию Кх2, предполагая, что входной сигнал представляет собой
стационарный случайный процесс с одной из типовых ковариационных Функций
(п. 4.1.5).
25G
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
4.5. Показать, что для двумерной стационарной системы задачи 1.1 при
некоррелированных входных сигналах ХД/) и X2(i) со спектральными
плотностями Si (со) и s2 (со) элементы спектральной матрицы sz (со)
процесса Z (t) = [Zi(t) Zi (f)]T определяются формулами
Sll И =S! (со) | Фи (ico) |2H-s2 (со) | Ф13 (ico) |3,
sI2 (со) (со) фи (гш) Ф21 (/со)ф52(со) Фц (iffl) Ф22 (т),
s2i (со) = s3 (со) Фц (ico) Ф21 (со) -[- s2 (со) Фх2 (со) Ф22 (ioi),
S22 (со) =Si (со) I Ф21 (ico) |2 + s2 (со) I Фц (ico) I'2.
Найти взаимную спектральную плотность процессов X(/) = [Xj(i) Хо (i)]T и
Z(t).
4.6. Проверить, что для двумерной стационарной системы задачи 1.2 при
стационарном входном сигнале X (t) - [X1{t) Х2(/)]г со спектральной
плотностью s (со) элементы матриц sz (со) и sxz (со) определяются
формулами
Ф,2; ("о) = $11 (со) | ф1 (со) |2 -J- s22 (со) (ф2 (со) |3 -f _______
_______________
-т-sia (со) [фх (со)ф2 (со)фф2 (со)фх (м)],
Ф,г2 (со) = - su (со) фх (со) ф2 (со) ф s22 (со) ф2 (со) фх (со) ф
-i-Si, (со) (| фх (со) I2 - | ф2 (со) |2),
*2з2, (со) = - Sxx (со) ф2 (со) фх (со)ф S12 (со) (I фх (со) I2- I ф2 (м)
I3),
(co)=Sll (со) I ф2 (со) |2+s22 (со) I фх (со) I2 - s12 (со) [фх (со) ф2
(со) -j-фх (со) ф2 (со)], S*,z, (со) = Six (со) фх (со) ф si2 (со) ф2
(со),
(со) = - Sll (со) ф2 (со) ф si2 (со) ф! (со), фз2, (со) = Sia (со) фх
(со)фs22 (со) ф2 (со),
Ф222 (со) = - S12 (со) ф2 (со) ф s22 (со) фх (со),
где
фх (со) = [е0 (соо фво + со2)ф ico (coo -во -со2)] с2 (со), ф2 (со) =
[(соофеЦ--со2) - 2е0/со] с2 (со) со0, с~2 (со) = (соофео - со2)2ф4еоМ2.
4.7. Показать, что для системы третьего порядка задачи 1.7 при а - - 2е/,
Ь - 1, sx(co) = sJ, где I - ЗхЗ-единичная матрица, спектральная плотность
выходного сигнала равна
sz (со) = s//(co2 ф 4е2).
4.8. Показать, что в условиях задачи 1.8 при X = [0 0 yr2Da]T V, где V -
белый шум единичной интенсивности, спектральная плотность выходного
сигнала равна
| Фи (ico) ]2 Фхз (ico) Ф23 (ico) Ф13 (ico) Ф33 (ico)
Ф23 (fсо) Фхз (ico) I Ф23 (ico) |2 Ф23 (ico) Ф33 (ico) .
_Ф33 (/со) Ф13 (ico) Ф33 (ico) Ф23 (ico) I Ф33 (ico) |2
