Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
преобразованием
X (s)=e-Aiy(/), s = t2,
где X (s) - стационарная случайная функция с экспоненциальной
ковариационной функцией кх (a) =De~nl а !, a = s2- Si.
§ 4.2. Спектральная теория стационарных случайных функций
4.2.1. Стационарные случайные функции с дискретным спектром.
Рассмотрим сначала все стационарные случайные функции, которые можно
составить из гармонических колебаний различных частот со случайными
амплитудами и фазами. Такие случайные функции выражаются формулой
*(0=2° (12)
V - - со
где {cov} - последовательность частот, {Kv} - последовательность
некоррелированных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями
и конечными дисперсиями DVv = Dv (v = ±1, dr2, ...), а нулик сверху у
суммы означает, что слагаемое, соответствующее v = 0, в сумме
отсутствует.
Ковариационная функция случайной функции X (/) как ковариация двух
линейных функций некоррелированных случайных величин Vv выражается
формулой (ТВ, п. 3.3.5)
<5 4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
233
ИЛИ
00
Мт) = 2° Dvel(0v\ т =t1 - t2.
(13)
Полагая в (13) т = 0, получим формулу для дисперсии случайной функции
X(t):
Отсюда видно, что дисперсия стационарной случайной функции X (/) конечна
тогда и только тогда, когда ряд, составленный из дисперсий Dv величин Vv,
сходится.
В случае бесконечной последовательности частот {cov}, кратных основной
частоте coj, соответствующей некоторому периоду 2Т, сог = л/Т, формула
(13) представляет собой разложение ковариационной функции в ряд Фурье.
Поэтому для определения дисперсий Dv величин Vv по данной ковариационной
функции случайной функции X (t) можно воспользоваться известной формулой
теории рядов Фурье:
Таким образом, все случайные функции, которые можно составить из
некоррелированных гармоник различных частот со случайными амплитудами и
фазами, являются стационарными случайными функциями *).
Последовательность частот {cov} представляет собой спектр частот
случайной функции X (/). Формула (14) определяет распределение дисперсии
случайной функции X (/) по спектру частот.
4.2.2. Стационарные случайные функции с непрерывным спектром. Чтобы
подойти к случаю непрерывного спектра частот, представим результаты п.
4.2.1 в другом виде. Введем случайную функцию частоты
Очевидно, что W (со) представляет собой ступенчатую случайную функцию
переменной со с некоррелированными скачками Vv
00
Dx = kx(0)= 2° Dv.
(14)
V - - СО
Т
kx{x)e~l^xdx (v=±l, ±2, ...).
- т
2 vv при со > О,
О < Mv < (о
W(co) = { 0 при " = 0,
1-2 Vv при w < О-
(о < (ov < О
*) Легко видеть, что некоррелированность коэффициентов Vv (случайных
комплексных амплитуд) в формуле (12) необходима для того, чтобы случайная
функция X (t) была стационарной.
234
ГЛ. 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
в фиксированных точках cov, т. е. случайную функцию частоты со с
некоррелированными приращениями (п. 3.1.1)*). Обозначим через S*(co)
функцию, соответствующую функции k(t) п. 3.1.1. Эта функция определяется
формулой
S,((c)) =
М | W (со)|а = 2 DV ПРИ (r) > О,
О < o)v < ю
О при со = О,
¦ М | W (со) |2 = - 2 DV ПРИ 03 < О-
ю < (ov < О
Ясно, что 5^(со) представляет собой ступенчатую функцию с положительными
скачками Dv в точках cov. Ее производная представляет собой линейную
комбинацию б-функций с положительными коэффициентами Dv:
ОО
sx (со) = S'x (со) = 2° (со - cov).
V= - ОО
С помощью случайной функции с некоррелированными приращениями W
(со) и функции s* (со) формулы (12) и (13) можно
переписать в виде
00
X(t)= J ешс№{со), (15)
- 00 00
kx (т) = ^ sx (со) еког с/со. (-16)
- оо
Таким образом, стационарная случайная функция с нулевым математическим
ожиданием и дискретным спектром представляется стохастическим интегралом
по ступенчатой случайной функции с некоррелированными приращениями W
(со).
Выразив б-функции интегралом Фурье (ТВ, приложение 1),
СО
6(co-cov)= 2ТГ S
- СО
можем представить формулу для sx (со) в виде
s*(со) = 2^ ? L° jDvei"vT'e-iwT dx.
-00 v- - 00
*) Несмотря на то, что W (со) является случайной функцией скалярной
переменной со, мы не называем ее случайным процессом, так как ее аргумент
имеет вполне определенный физический смысл круговой частоты колебаний, а
не времени.
§ 4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
235
Отсюда на основании (13) получаем
00
= i I kx(x)e~imdx. (17)
- 00
Рассмотрим теперь случайную функцию X (t), определяемую стохастическим
интегралом (15) при произвольной случайной функции W (со) с
некоррелированными приращениями, имеющей нулевое математическое ожидание
и нулевое значение при со = 0. Такая случайная функция имеет конечный
момент второго порядка при любом значении со (п. 3.1.1). Определим
соответствующую функцию
Г М | W (со) |2 при со > О,
5л(со) = 1 0 при ю = 0,
( -М | W (со) |2 при со < 0.
Если эта функция имеет производную (со), возможно, содержащую линейную
комбинацию S-функцнй, то ее можно представить формулой
СО
S*(ffl)=$s,((A)dn. (18)
о
В этом случае ковариационная функция случайной функции X (?) на основании
