Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
взаимные ковариационные функции определяются формулой
= (р, 47 = 0, 1, 2, . . .). (2)
В частности, взаимная ковариационная функция стационарной случайной
функции X (t) и ее первой производной определяется формулой
kxxr{r)=- - k'x{x).
<i 4.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 227
Если ковариационная функция кх (т) стационарной случайной функции X (t)
имеет непрерывную первую производную, то k'x(0) - 0, так как kx(x) имеет
максимум при т = 0. Таким образом, для любой с. к. дифференцируемой
стационарной случайной функции
*".(0) = -*;(0) = о.
Это значит, что значения любой стационарной случайной функции и ее первой
производной в одной и той же точке не коррелированы. Если стационарная
случайная функция распределена нормально, то ее значение в любой точке и
значение ее производной в той же точке независимы. Ясно, что из этого
никак не следует, что стационарная случайная функция и ее производная
вообще не коррелированы. Так как производная ковариационной функции
всегда отлична от тождественного нуля, то стационарная случайная функция
и ее производные всегда коррелированы и тем более зависимы.
Пример 7. Найти ковариационную функцию производной случайной функции X
(t), если
kx (т) = De~a I х 1 (1 --ос | т |).
Найти также взаимные ковариационные функции случайных функций X (t) и
X'(t). По формулам (1) и (2) находим
kxx' (т) = -/ф. (т)=a2Z)xe-" I *1 = -kx.x (т),
kx' (r) = - k"x (т) = a?De~a 111 (1 - a | т I).
Пример 8. Найти ковариационные функции первой и второй производных
случайной функции X (t) при
kx (т) = д)е~ а 1 х I f 1 -j- а ] т j -}- - j сс2т2 j .
По формулам (1) и (2) находим
bxx'(x) = - k'x (т)= Dxe~a 1т 1 (1-[-а|т|) = - kx.x (т),
kX' (x) = - k"x (т) = De~a I т 1 (1 +ос | т |- а2т2) = - kxx*(x),
Ьх'х* (т) = - k'x (x)=-aiDxe~0'-14 ^ 1 - у а | т | J ,
kX" (т) = k\y (т) = alDe~a 1 х 1 ( 1 - а ] т | 4- т2 'l.
\ чу
4.1.5. Некоторые типовые ковариационные функции. В приложениях часто
встречаются стационарные случайные функции с показательной
(экспоненциальной) ковариационной функцией
kx (т) = De~a1т1. (3)
Мы встречались с этой ковариационной функцией в примерах
2.4-2.6.
228 гл. 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Другим часто встречающимся видом ковариационной функции стационарной
случайной функции является показательно-косинусная (экспоненциально-
косинусная) ковариационная функция
kx{r) = De-a\"cos ю0т. (4)
Кривые, изображающие показательную и показательно-косинусную
ковариационную функцию, имеют в начале координат угловую точку. Иными
словами, их первая производная имеет
разрыв в начале координат. Следовательно, вторая производная такой
ковариационной функции в начале координат не существует. Это означает,
что случайные функции с показательной или показательно-косинусной
ковариационной функцией не с. к. дифференцируемы.
Третьей часто встречающейся ковариационной функцией стационарной
случайной функции является ковариационная функция вида
kx (т) = De~a IТI (cos со0т-(- у sin со01 т |). (5)
Параметр у в этой формуле может иметь любое значение, не превосходящее по
модулю а/о:0. На рис. 11 показаны графики ковариационной функции (5) при
различных значениях параметра у. При предельном значении параметра у, у =
а/со0, кривая, изображающая ковариационную функцию, не имеет угловой
точки в начале координат и касательная к ней при т = 0 параллельна оси
абсцисс. Вследствие этого такая случайная функция при у = а/ю0 с. к.
дифференцируема. Интересно отметить, что ковариационная функция примера 7
может быть получена предельным переходом из (5) при со0 0.
s-t.l. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 229
Приведенные три вида ковариационных функций стационарных случайных
функций имеют большое значение для практики еще и потому, что
ковариационная функция любой стационарной случайной функции может быть с
любой степенью точности представлена в виде линейной комбинации конечного
числа ковариационных функций этих трех типов, конечно, с различными
значениями параметров а, со0 и у.
4.1.6. Случайные функции, приводимые к стационарным. В приложениях
часто встречаются случайные функции, которые сравнительно просто в
конечном виде выражаются через стационарные случайные функции. Такие
случайные функции называются приводимыми к стационарным.
Приведение случайной функции к стационарной можно осуществить или
преобразованием самой случайной функции, или преобразованием аргумента,
или комбинацией этих преобразований.
Случайные функции, приводимые к стационарным преобразованием самой
случайной функции, определяются в общем случае формулой Y (/) = ф (X (/),
t), где ф(Х, t) - некоторая функция, X {{) - стационарная случайная
функция.
Случайные функции, приводимые к стационарным заменой аргумента,
определяются в общем случае формулой Y (t)-X (ср (/)), где ф(/) -
некоторая функция, X (s) - стационарная случайная функция переменной s =
cp(/).
В общем виде случайная функция, приводимая к стационарной, определяется
