Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ковариационная функция зависит только от разности аргументов:
КХ(Ф, /2)=-Мт), т = /1 - t2.
Очевидно, что всякая стационарная в широком смысле случайная функция
ковариационно стационарна. Так как в приложениях обычно интересуются
только ковариационными функциями (математическое ожидание является
неслучайной функцией), то мы будем дальше рассматривать только
ковариационно стационарные случайные функции и для краткости называть их
просто стационарными.
В соответствии со сказанным в конце п. 2.1.1 стационарные случайные
функции скалярной переменной обычно называют стационарными случайными
процессами, а стационарные случайные функции векторной переменной часто
называют однородными случайными полями.
4.1.2. Свойства стационарных случайных функций. Ковариационная
матрица значения стационарной случайной функции X (/) при данном t
(дисперсия в случае скалярной случайной функции) постоянна:
Dx (t) = Кх (t, t) =--- kx (0) = const.
Второе свойство стационарных случайных функций вытекает из первого
свойства (2.26) ковариационной функции. Согласно этому свойству при
перестановке аргументов значение ковариационной функции заменяется
эрмитовски сопряженной матрицей (комплексно сопряженной величиной в
случае скалярной случайной функции). Следовательно,
kx (т) = М-т)*.
§-1.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 223
В частности, ковариационная функция действительной скалярной стационарной
случайной функции не изменяется при изменении знака аргумента, т. е.
является четной функцией:
х)-
Так как дисперсия стационарной скалярной случайной функции постоянна, то
третье свойство ковариационной функции для стационарных случайных функций
принимает вид
I К (т) | <5 Dx = kx (0).
Иными словами, ковариационная функция скалярной стационарной случайной
функции не может быть по модулю больше ее значения в начале координат.
Пример !. Случайные функции, определяющие флуктуации напряжения при Д
--сс в примере 2.4, а также случайные функции в примерах 2.5 и
2.6 стационарны в широком смысле.
Пример 2. Рассмотрим случайную функцию
А' (/) -- U cos со / + V sin о Я, (I)
где U и V - некоррелированные случайные величины с
математическими
ожиданиями ти и mv и с одинаковыми дисперсиями, равными D. Очевидно, что
тх = та cos со/ -j- mv sin со/. Для определения ее ковариационной функции
заметим, что случайная функция X (/) является суммой двух
некоррелированных случайных величин и, следовательно,
Кх (П. О) = D cos шД cos соД D sin соД sin соД = D cos со (Д - Д).
Отсюда видно, что случайная функция А (/) ковариационно стационарна. Если
ma = mv = 0, то X (/) стационарна в широком смысле.
Для того чтобы определить, является ли случайная функция А (/)
стационарной в узком смысле, необходимо задать распределение случайных
величин U и V. Пусть f (и, -и) - совместная плотность случайных величин
U, V. Для определения двумерной плотности случайной функции А (/)
воспользуемся формулой для плотности функции случайного аргумента (ТВ, п.
5.3.1). Формула (I) определяет А (Д) и А (Д) как линейные функции
случайных величин U, V. Следовательно, решив уравнения
Xi = u cos соД v sin соД, х2 - и cos соД ф v sin at2 относительно и, v:
Xi sin at2 - x2 sin соД - X\ cos соД -j- x2 cos соД
sinco(/2- Д) ' sinco(/2- Д)
получим для двумерной плотности случайной функции X (/) формулу , / Х\
sin со/2 - х2 sin соД -Ху cos соД+ х2 cos соД \ t, , v, \ sin со (Д - Д)
' sin со (Д - Д)
/ (-*1, Х2, Д, 1-2) 1 , ¦ ,, Г-ГП--- ¦
Jsinco(/2 - ty |
Эта формула показывает, что в общем случае двумерная плотность случайной
функции А (/) зависит от обоих аргументов Д и Д, и поэтому случайная
функция А (/) не является стационарной в узком смысле. Таким образом, мы
имеем пример случайной функции, стационарной в широком смысле и
нестационарной в узком смысле. В частных случаях случайная функция А (/)
может быть стационарной и в узком смысле. Так, например, если плотность
случайных величин U, V зависит только от и2 г v2:
/ (и, v)~ h (u2-\-v2), (II)
224
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
то случайная функция X (() стационарна в узком смысле. В этом случае ее
двумерная плотность зависит только от разности t1-12. Для того чтобы
убедиться в том, что п-мерное распределение случайной функции X (t) при
любом л зависит только от интервалов t}-iy, найдем ее п-мерную
характеристическую функцию. Имеем
8п (*•!
к.,; ti, ..., t") -
I '" 4
:Л4ехр <[ i 2 kvX (М
I v= l J
f,
M exp ! i I U 2 cos w/v I \ v=l
I f n exp J i ^ u cos m/v
I \ v =
- OC - 00
V 2 sin colv
2 kx sin <o/v
v= 1
)}
V
h (и2 -j- u-) du dv.
Отсюда после замены переменных
и = * cos (xtt-i - г) sin ш/i,
пвлучаем
§п 1 • • •" кп\ ij, ..., tп) -
v - j sin cos (i>ti
S J
J,
exp ¦; i
| 2 kv cos to (/y - /v) - л 2 'vvsin ю (fi - tv) v=i v=i
ХЙ (i3 + T)2)didii.
Таким образом, при любом п характеристическая функция gn, а следовательно
и /г-мерное распределение случайной функции X (t), зависит только от
разностей И-tv (v 2, ..., п), что и доказывает стационарность в узком
