Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
формулой Y (t) - ф (X (ср (t)), t), где ф(г") и ф(Х, t) имеют прежние
значения, а X (s) - стационарная случайная функция переменной s = rp(/).
Простейшие случайные функции, приводимые к стационарным, получаются
линейным преобразованием стационарной случайной функции (с заменой
аргумента или без замены аргумента).
Найдем условие приводимости случайной функции к стационарной линейным
преобразованием, ограничиваясь для простоты скалярными действительными
случайными функциями.
> Предположим, что случайная функция Y (/) связана со стационарной
случайной функцией X(t) формулой
У(/) = МО + М0*(0, (6;
где b0(t) и b1(t) - некоторые действительные функции, причем К (t)
сохраняет знак при всех t. Ковариационная функция и дисперсия случайной
функции Y (/) выражаются через ковариационную функцию стационарной
случайной функции X(t) формулами
- ^1 Ki) ^1 Кг) kx (tl t?),
Du(t) = Ky(t, t) = K{t)kx(0).
(7)
230
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
На основании этих формул корреляционная функция Y (?) равна
t,) = Ку = k* = г (; -12), (8)
VDyVJDyit,) МО) W
т. е. совпадает с корреляционной функцией стационарной случайной функции
Х'(?). Таким образом, необходимым условием приводимости случайной функции
к стационарной линейным преобразованием является зависимость ее
корреляционной функции от разности агрументов t1 - t.,. Для
доказательства достаточности этого условия найдем ковариационную функцию
случайной функции X (?) =
= Y (t)/yrDll (?), предполагая это условие выполненным:
Kx{tu ?.,) = = r,, (?t - ?,).
хКи v DyitJDyit,) <->Kl
Отсюда видно, что ковариационная функция случайной функции X(?) зависит
только от разности аргументов, что и доказывает стационарность случайной
функции X (?). М
Таким образом, для приводимости случайной функции к стационарной линейным
преобразованием случайной функции необходимо и достаточно, чтобы ее
корреляционная функция зависела только от разности аргументов.
Найдем условия приводимости случайной функции к стационарной заменой
аргумента.
> Предположим, что случайная функция Y (?) выражается через стационарную
случайную функцию X (s) формулой
Г(?) = М0 + М0*(ф(0)- (9)
Совершенно так же, как в предыдущем случае, находим корреляционную
функцию
R"(tu ?2) = = гх (Ф (М-ф (?2)). (10)
У LJy (u; Uy {t2)
Отсюда видно, что семейства кривых Ry{tlt ?2) = с и rp(?i) - - ф(П) = с'
должны совпадать. Дифференцируя уравнения этих кривых, получим, с одной
стороны,
dRy(ti, С) dRy (tx, ?2)
W, dt' + Wl dt2=0>
а с другой стороны,
ф'(Д) ^i + ф' (П) dt2 = 0.
§4.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 231
Эти дифференциальные уравнения должны быть равноценными. Отсюда вытекает
необходимое условие
dR"(tu t2) dt!
dRy(ti, С)
о/,
Ф' (h)
ф' (С)
(И)
Таким образом, для приводимости случайной функции к стационарной линейным
преобразованием с одновременной заменой
% г/ Тг *г
*2 % *5 % *
Рис. 12
аргумента необходимо и достаточно, чтобы отношение частных производных ее
корреляционной функции могло быть выражено в виде взятого с обратным
знаком отношения значений некото рой функции ср' при значениях аргумента,
равных tx и t2 соответственно. Функция ф при этом определяется как
интеграл от ф'.
Для определения функции ф может быть использован следующий приближенный
прием, предложенный Е. В. Золотовым. Построив биссектрису координатного
угла и какую-нибудь кривую семейства Ry{t^, t.,) = c в координатах tu С,
проводим ломаную, составленную из отрезков, параллельных осям координат,
имеющих концы на биссектрисе координатного угла и на выбранной кривой
семейства R (/у, t2) - c. Сопоставив значениям /], соответствующим
вершинам построенной ломаной линии (рис. 12), равноотстоящие значения
переменной st, получим кривую, приближенно определяющую функцию ф. Ясно,
что построенная таким способом кривая не должна зависеть от выбора кривой
семейства R,l(t1, t2) = c и начальной точки ломаной t0. Практически это
условие не может выполняться точно вследствие приближенности самого
построения. Кроме того,
232
ГЛ. 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
функция, определяемая формулой
П0-т"(0
X(s)==-ьГЦ]-- 5 = <г(0.
может быть не точно стационарной, а лишь приблизительно стационарной.
Поэтому практически за кривую функции ф обычно приходится выбирать
кривую, полученную в результате осреднения нескольких кривых, построенных
изложенным способом для нескольких кривых семейства R4(tlt t2) = c и
для несколь-
ких начальных точек ломаной. Критерием приводимости рассматриваемой
функции к стационарной с помощью замены аргумента при этом будет
служить достаточная близость всех кривых
S = (P(0> полученных для различных кривых семейства R ((¦,_. t.2)=c при
различных начальных точках.
Пример 9. Случайная функция Y (t) примера 6 приводима к ста ционарной
случайной функции X (t) посредством преобразования X (t) = e~MY{t).
Пример 10. Случайная функция У (/) с ковариационной функцией
v и t\ n ** (С + С)-а I t\-t\ I "
Ay("i> t2) = Ue 1 " 1 приводится к стационарной
