Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
s 1.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
217
> На основании формулы (17) и этого свойства
00
И = i j kx О) е'шd% =
- со
со со
= i § кх(г~ г)те-'"т^= 23У \ ftv(o) т е1ш<с1о.
- СО - X
Но на основании той же формулы (17)
00 р СО -J Т
- J kx (о)т еШа do = \ kx(a)e-Ca>ado .-. .,(<¦> г ^
- X - 00 J
Таким образом, спектральная плотность действительной стационарной
векторной случайной функции обладает эрмитовской симметрией (представляет
собой эрмитовскую матрицу)-.
s* N = s* И*.
> На основании формулы (17) и того же свойства ковариационной функции
с( = _2^' j kx (Г) еШХ d% = i Т) Ге'"
: dx ¦
= 2jT \ (СТ)Т e~iaado = S.V (ы)т. ^
- X
Таким образом, при изменении знака со спектральная плотность
действительной векторной стационарной случайной функции переходит в
транспонированную матрицу.
s*(-1") = s*((r))T-
В частном случае спектральная плотность действительной стационарной
случайной функции представляет собой четную функцию:
s* (- со) = s* (со).
Из выведенных второго и третьего свойств спектральной плотности
действительной стационарной векторной случайной функции вытекают
следующие свойства взаимных спектральных плотностей Действительных
стационарных случайных функций:
sxqp (со) = sxq (со), sxp (- со) = sxq (со) = sqp (со).
Вся изложенная теория стационарных случайных функций относится также к
стационарным случайным функциям векторного аргумента /. В этом случае со
представляет собой вектор
248
I'.'l. 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
(матрицу-столбец) той же размерности п, что и вектор (, а произведение
со/ или сот следует понимать как скалярное произведение соответствующих
векторов сот/ или сотт соответственно. При этом множитель 2я во всех
формулах заменится множителем (2я)".
4.2.6. Стационарный белый шум. Хотя спектральные разложения стационарных
случайных функций применимы только к с. к. непрерывным случайным
функциям, их часто формально применяют и к обобщенным случайным функциям-
белым шумам.
Предположим, что X (/)- белый шум постоянной интенсивности V. Его
ковариационная функция определяется формулой
Kx(tlt = -
Эта формула показывает, что в случае постоянной интенсивности
ковариационная функция белого шума зависит только от разности аргументов
т = /, -/2. Вследствие этого белый шум постоянной интенсивности
называется стационарным белым шумом.
Найдем спектральную плотность стационарного белого шума X{t). По формуле
(17) получаем
СО
s*((0)=2^ j 4^)e-^dT = ^.
- со
Таким образом, спектральная плотность стационарного белого шума X(t)
постоянна и равна s0 = v/2n. Именно вследствие этого случайные функции
такого рода называются белыми шумами по аналогии с белым светом, все
спектральные компоненты которого имеют одну и ту же интенсивность.
Подчеркнем, что спектральная плотность s0 стационарного белого шума и его
интенсивность v связаны соотношениями
s0 = т/2я, v = 2jis0. (21)
При измерении частоты в Гц спектральная плотность стационарного белого
шума a0==2ns0 совпадает с его интенсивностью v.
4.2.7. Интервал корреляции стационарной случайной функции. В соответствии
с определением п. 2.2.5 интервал корреляции стационарной случайной
функции X (/) и интенсивность аппроксимирующего его белого шума
вычисляются по формулам
00 а>
Тк = 7Г j ^ЩГйт' v= 1 kx(T)dr= 2tkDx.
- 00 - 00
Интересно отметить связь между интервалом корреляции и спектром
стационарной случайной функции. Оказывается, что чем шире полоса частот,
в которой спектральная плотность заметно отличается от нуля, тем меньше
интервал корреляции, тем ближе случайная функция к белому шуму. Это легко
объясняется тем,
§1.1!. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
249
что белый шум имеет постоянную спектральную плотность в бесконечной
полосе частот.
Пример 18. В примере 2.18 было показано, что белый шум можно получить как
слабый с. к. предел случайной функции с показательной ковариационной
функцией. Из результатов этого примера следует, что стационарная
случайная функция с ковариационной функцией (va/2) е~а *т * слабо с. к.
сходится к белому шуму интенсивности v при а сс. Спектральная плотность
этой случайной функции определяется формулой примера 11 при D-xa/2:
v
2л a2 -j- со2
Отсюда видно, что при а со спектральная плотность s* (со) стремится к
постоянной величине s0 = v/2n.
Согласно приведенным формулам интервал корреляции случайного процесса с
показательной ковариационной функцией (3) и интенсивность
аппроксимирующего его белого шума определяются формулами тк = 1/a, v = =
2D/a. Для ковариационной функции (5), kx (т) =De~a^ х I (cos со0т + + у
sin со0 | т |), имеем
TA = (yco0-t a)/P2, v = 2D (yco0 + a)/f)2, P2 = a)o-f-a2.
Отсюда, в частности, при 7=0, т* = а/Р2, v=s2?>a/|52 для показательно-
косинусной ковариационной функции (4). Для ковариационной функции (5) при
у = а/со0 имеем тк=2а/Р2, v - 4Da/P2.
Пример 19. Предыдущий пример иллюстрирует отмеченную закономерность-
уменьшение интервала корреляции при расширении полосы частот, в которой
спектральная плотность заметно отлична от нуля. Интересно вывести
