Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2) 2+ (1 + Из) ф (2) + (Ц V2) Ф (2) = kVu
220
1VI. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
п
3) Z-"P"(Z, Z, 2ф/(2- 2, 0 V,
i= I
соответствуют следующие уравнения Ито:
1) Z-f- 2Едо(| (1 - 20v33?;wo-j- V3) Z-f Wo (1 - 20\'23ио"-j - К2) Z =
= А(-20Cv13Cd"-J-I/,),
2) Z -f- [ 1 - Этззф' (Z) f - V з | \|: (Z) -j- [ 1 - Ох2зф' (Z) V| ф (Z)
-
^ к [- OVj ;;l| ' (Z) 1 | |.
П tl
3) Z= q0(Z, Z, ?)-,-0 2 v*ft<PA(?> ^ 0ф/(2, z. o-;- 2^(Z' ^ /)Г/'
/, h=l /= l
где 9h(Z. Z, 0 ~ <3 ф/г (Z, Z, f)/dZ, I' |if ... l7,,]1,- нормально
распределенный белый шум интенсивности v. Найти условия, при которых
уравнения Ито совпадают с исходными уравнениями.
3.7. Показать, что стохастической системе в 0-дифференциалах
Z, г (i j- I/3) Z, + со,, (1 : ,) Z2-1 ktVu
Zi - 03(1 ( 1 + V'4) Z] Ё0 (1 - 1 3) Z2-(-/.,2l'2
при независимых нормально распределенных белых шумах VF4 соответствует
следующая система уравнений Ито:
Zi - - - к,, (1 - Осс~ Vз) Z\ од, (1 -{- Vз) Zi г к^ \ 4,
Zi- ton (1 -f- V4) Z4 - e" (1 -0cca-;-V3) Z2 k2V2 (s0a2 = Ё0л:з3 -f-
cOoV44).
Дать обобщение на случай зависимых белых шумов.
3.8. Для линейной системы (1.72) с параметрическими шумами, понимаемой
как система в О-дифференциалах, выписать соответствующие уравнения Ито,
считая белый шум нормально распределенным.
3.9. Показать, что линейной системе задачи 1.9, если дополнительно ввести
параметрические шумы
Aq- (If- V3) (В + В ') q + (I + 1/2) (С f С) q = (1 + К,) Q,t,
где q [q-L ... р"|' и Q [ i ... Qn]T - re-мерные векторы, А, В, С и В',
С' - симметричные и антисимметричные яхя-матрицы, V[ 1Д V3Y3]T- нормально
распределенный трехмерный белый шум интенсивности \\ соответствует
уравнение Ито
••'С/ • ( 1 > :,)(/< В') (1 . ГД (Cf-C') q~
(1 • l',)Q, 01 v,:lQ,.-l '(В- /Г,
+ V23 (C + C')qA-1(B-B')-:-\33(B + B')qA-1 (В-В')).
3.10. Рассматривая уравнения нелинейной системы задачи 1.13 при 1I =
\|}V/, Q = фИ, где ф = г|:(р, t), ФггФ (<?, q, t)-матричные функции
указанных переменных, V¦-нормально распределенный векторный белый шум
интенсивности v, как уравнения с 0-дифференциалом, привести их к
уравнениям Ито для канонических переменных.
ГЛАВА 4
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 4.1. Характеристики стационарных случайных функций
4.1.1. Определение стационарной случайной функции. Стационарными
обычно называются такие явления, некоторые характеристики которых не
изменяются с течением времени, т. е. инвариантны относительно сдвигов во
времени. В соответствии с этим общим понятием стационарности случайная
функция называется стационарной, если некоторые ее характеристики не
зависят от ее аргумента (инвариантны относительно сдвигов в пространстве
значений аргумента). В зависимости от того, какие характеристики
случайной функции не зависят от ее аргумента, можно рассматривать
различные виды стационарности.
Если математическое ожидание случайной функции постоянно, а ее
ковариационная функция зависит только от разности аргументов (инвариантна
относительно сдвигов аргумента случайной функции):
пгх (ф = const, Кх {tl, /.,) •= kx (т), т - tl - t.,,
то случайная функция называется стационарной в широком смысле.
Если нас интересуют не только математические ожидания и ковариационные
функции, но п другие характеристики случайных функций, то приведенного
определения стационарности случайной функции недостаточно. Оно
накладывает ограничения только на ее математическое ожидание и
ковариационную функцию. Наиболее жесткие условия стационарности
получатся, если наложить ограничения на все конечномерные распределения
случайной функции. Это даст следующее определение стационарности
случайной функции.
Случайная функция X (/) называется стационарной в узком смысле, если все
ее конечномерные распределения зависят только от разностей аргументов С,
¦ ¦ •. 1п- На основании этого определения конечномерные плотности
(функции распределения, характеристические функции) стационарной в узком
смысле случайной функции X (t) удовлетворяют условиям
/" {х,, . . ., Л'"; , . . ., /") - hn (хи . . ., хп; /х - /:, tn)
(и = 1, 2, ...).
222
ГЛ. 4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Очевидно, что класс случайных функций с конечными моментами первого и
второго порядков, стационарных в узком смысле, представляет собой лишь
часть класса случайных функций, стационарных в широком смысле.
Согласно нашему определению стационарной случайной функции случайная
функция, математическое ожидание которой зависит от аргумента t, а
ковариационная функция зависит только от разности аргументов t1-t2,
является нестационарной. Однако такая нестационарность несущественна, так
как соответствующая центрированная случайная функция стационарна. Иными
словами, нестационарность случайной функции, вызванная непостоянством ее
математического ожидания, несущественна и всегда может быть устранена
центрированием случайной функции. В связи с этим введем еще одно
определение стационарности случайной функции.
Случайная функция X(t) называется ковариационно стационарной, если ее
