Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(87)
ДА - a (Xf, t)At + b(Xu i)AW,
(88)
218
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ,
УРАВНЕНИЯ
хаотического дифференциального уравнения только в том -случае, когда это
уравнение понимается как уравнение Стратоновича.
Само собой разумеется, что при моделировании процессов, определяемых
стохастическими дифференциальными уравнениями, необходимо моделировать
случайные величины или случайные процессы. При численном интегрировании
стохастических дифференциальных уравнений на ЭВМ необходимо на каждом
шаге моделировать приращение А1П случайного процесса W (().
При моделировании с помощью аналоговых устройств необходимо генерировать
широкополосные случайные процессы (т. е. процессы с малыми интервалами
корреляции) *).
В последнее время созданы новые специальные методы численного
интегрирования стохастических дифференциальных уравнений, более
эффективные, чем обычные методы численного интегрирования **).
Само собой разумеется, в результате численного интегрирования
стохастического дифференциального уравнения, так же как и при его
моделировании с помощью аналоговых устройств, всегда получается
приближенно реализация решения, соответствующая использованной при
интегрировании реализации процесса W (() с независимыми приращениями или
широкополосного процесса, моделирующего белый шум V (I).
В задачах практики обычно интересуются поведением не реализаций решений
стохастических дифференциальных уравнений, а некоторых их статистических
характеристик, например моментов, семиинвариантов или квазимоментов.
Уравнения для этих характеристик будут выведены в гл. 5 и 6. Они
представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, которые можно
интегрировать любым стандартным методом численного интегрирования. Именно
это направление в прикладной теории стохастических дифференциальных
уравнений изучается в этой книге. Поэтому мы не будем изучать вопросы
моделирования процессов, определяемых стохастическими дифференциальными
уравнениями, и численного интегрирования таких уравнений.
ЗАДАЧИ
3.1. Вывести формулы для стохастических дифференциалов Ито функций
стандартного винеровского процесса, приведенных в табл. 1 приложения 6.
Получить аналогичные формулы для стохастических 0-дифференциалов.
3.2. Вывести формулы для стохастических дифференциалов Ито функций
векторного винеровского процесса, приведенных в табл. 2 приложе-
*) Для того чтобы стационарный процесс имел малый интервал корреляции,
необходимо, чтобы его спектральная плотность была приблизительно
постоянной в достаточно большом диапазоне (в достаточно широкой полосе)
частот (п. 4.2.7).
**) См., например, Р. М и к у л е в и ч у с, Э. Платен (R. Mikulevicus,
Е. Platen). Time discrete Taylor approximation for Ito processes with
jump component // Math. Nachr.- 1988.- V. 138.- S. 93-104.
ЗАДАЧИ
219
ния 6. Получить аналогичные формулы для стохастических 0-дифферен-циалов.
3.3. Доказать, что стохастический дифференциал Ито скалярной функции
U~(f(P) пуассоновского процесса Р определяется формулой
dU= [ф(Р+1)~ <f(P)]dP.
Вычислить по этой формуле стохастические дифференциалы функций,
приведенных в табл. 1 приложения 6.
3.4. Показать, что скалярные стохастические дифференциальные уравнения с
0-дифференциалом первого порядка:
1) 2 - м.! Г3|/ Й1Д,
2) 2 = (1 -f- V72) ср (Z) -j- /г 1ф,
П
3) г=Ф" (z, о +
i=i
приводятся к следующим уравнениям Ито:
1) 7= - е (1 - 20ev22 -I- V2)Z + k (-20sv2, -f Уф),
2) 7 = [ 1 + 20v22(p' (2) f 1/2J Ф (2) + k [20\'12ф' (Z) -f- Уф],
n n
3) 2 = Ф"(2, 0-Г0 2 xPQ4p(Z' 0<F?(Z, 0+ /)^'
p, q=\ 1 = 1
где ф' = 3ф/5г, У--[1ф... 1',г]т- нормально распределенный белый шум
интенсивности v. При каких условиях уравнения Ито совпадают с исходными
уравнениями?
3.5. Пусть 7(1) - такой п-1 раз с. к. дифференцируемый случайный процесс,
что его (л-1)-я с. к. производная имеет дифференциал Ито
dZ("-i)_.(p(2, 2, . . ., 7{rl~1\ t)dt + i>(Z, 7 Zi<- к, i)dW.
Это соотношение называется стохастическим дифференциальным уравнением Ито
п-го порядка относительно процесса Z (/). Это уравнение можно также
записать в виде
2'"> ф (Z, 2, ..., Z{ll~1\ /)ф-ф(2, 2, ..., Z1" - ч, i)V,
где V - dW/dt-белый шум в строгом смысле. Доказать, что это уравнение
приводится к стандартной форме стохастического дифференциального
уравнения Ито (77) или (79) для некоторого л-мерного векторного процесса.
Более общее стохастическое дифференциальное уравнение л-го порядка
п- 1
7{п) ф- ^ ak{Z- 7'..................... /) 2<д'>-:-ф (2, 2', ..., zw-
m-i)' /)=т
к -п-т
т h~ 1
при 0<лг<л понимается как эквивалентная в смысле задачи 1.17 система
стохастических дифференциальных уравнений первого порядка.
В случае винеровского процесса 117 (/) вывести формулы перехода от
Уравнения Ито л-го порядка к уравнению в 0-дифференциалах л-ro порядка и
наоборот.
3.6. Показать, что скалярным стохастическим дифференциальным уравнениям
второго порядка с 0-дифференциалом:
1) 2 + 2?м0 (1 - 1ф) 2 4- сио (1 + V2) Z = k 1ф,
