Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
dX различаются только формой представления. Если в интегральном
уравнении, соответствующем dX, стохастический интеграл представляет собой
интеграл Ито, то в уравнении, соответствующем de X, стохастический
интеграл является 0-интегралом.
216
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Легко видеть, что преобразование уравнения с 0-дифферен-циалом в
уравнение Ито и наоборот возможно только в случае дифференцируемой по х
функции b(x, t). Если функция b(x, t) не имеет первых производных по
компонентам вектора х (хотя бы разрывных), то уравнения Ито,
определяющего тот же процесс, что и данное уравнение с 9-дифференциалом,
не существует.
Пример 27. Привести уравнение с 0-дифференциа.чом
^ = - X3 + XV
к уравнению Ито, если V (/) - нормально распределенный белый шум
единичной интенсивности (производная стандартного винеровского процесса).
В данном случае a1(x,t) --х3, b(x,i) = x и формула (85) дает a(x,t) = -
х3-р0д:. Соответствующее уравнение Ито (определяющее тот же случайный
процесс X (t)) имеет вид
44 = - X3 -I-0X-L XV.
at
Пример 28. Уравнение Ито, соответствующее уравнению с О-диффе-ренциалом
dex -_e-x+Sin X¦ V,
dt
где V (/) - нормально распределенный белый шум постоянной интенсивности
v, имеет вид
^=е-* + у sin2X+sinX-y.
3.6.6. О численном интегрировании стохастических дифференциальных
уравнений. При исследовании сложных систем, описываемых стохастическими
дифференциальными уравнениями, широко применяется метод статистического
моделирования (ТВ, § 8.4). Моделирование таких систем на цифровых ЭВМ
включает численное интегрирование стохастических дифференциальных
уравнений. В соответствии с определением стохастического
дифференциального уравнения (77) или (79) как сокращенной формы записи
соответствующего интегрального уравнения
(78) численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений
имеет некоторые особенности. Дело в том, что все численные методы
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, кроме простейшего
метода Эйлера, основаны на вычислении приращений искомых функций на
каждом шаге путем применения интегральной теоремы о среднем значении. В
соответствии с этим правые части уравнений (производные искомых функций)
берутся в средних точках интервалов. Различные методы численного
интегрирования отличаются один от другого по существу только способом
приближенного нахождения средних значений правых частей уравнений. К
стохастическим интегралам теорема о среднем значении неприменима. Однако
§3.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
217
для стохастических интегралов от неслучайных функций справедлив некоторый
аналог теоремы о среднем, показывающий, что наилучшую аппроксимацию
стохастического интеграла от непрерывной неслучайной функции дает
произведение значения этой функции в некоторой средней точке интервала
интегрирования на приращении процесса, по которому производится
интегрирование на этом интервале (п. 3.1.5). На основании этой теоремы
все методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений можно применять к стохастическим дифференциальным уравнениям, у
которых коэффициент при белом шуме (или, что одно и то же, перед dW)
является детерминированной функцией времени t, т. е. не зависит от X,
Если же функция b(X, t) в (77) зависит от X, то второй интеграл в (78)
представляет собой стохастический интеграл от случайной функции. Поэтому
метод численного интегрирования таких уравнений должен выбираться в
зависимости от того, в каком смысле понимается стохастический интеграл. В
случае уравнения Ито (77) или (79) приращение процесса X (t) на интервале
[/, /-j-Д^) должно определяться по формуле (59):
что соответствует методу численного интегрирования Эйлера. Таким образом,
уравнения Ито можно интегрировать методом Эйлера. Однако для повышения
точности вычисления первого слагаемого можно взять значение функции a(Xt,
t) в некоторой средней точке интервала интегрирования [1, I А/). При этом
можно использовать любой метод численного интегрирования, например широко
применяемые методы Адамса и Рунге- Кутта. Но значение функции b(Xf, i)
всегда приходится брать в начальной точке интервала интегрирования. В
случае уравнения в 9-дифференциалах следует брать значение функции b(Xu
t) в точке t ф- 0AA Однако для приближенного нахождения значения функции
b(Xt,t) в этой точке пришлось бы изобретать новые методы численного
интегрирования.
При моделировании стохастических дифференциальных уравнений с помощью
аналоговых вычислительных устройств в случае функции b(X, t), зависящей
от X, необходимо предварительно привести уравнения к форме Стратоновича.
Объясняется это тем, что при таком моделировании белый шум приходится
заменять процессом с малым, но все же отличным от нуля интервалом
корреляции, так как белый шум физически нереализуем (п. 2.2.5). А в этом
случае, как будет показано в п. 5.1.2, моделируемый процесс будет близким
к решению сто-
Х = а{Х, t) + b{t)V.
