Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующее случаю, когда второй интеграл в (78) представляет собой
0-интеграл, будем записывать в виде
-X - а(Х, П и! Л . t)V (80)
или
d0X = а (X, t) dt - b (X, /) deW. (81)
При 0=1 2 уравнения (80) и (81) представляют собой уравнения
Стратоновнча.
Заметим, что в силу несовпадения стохастических интегралов разных видов
уравнение (77) и уравнение (80) при разных 0 н при одних и тех же
функциях а(х, t) и b(x, t) определяют различные случайные процессы. Это
необходимо всегда помнить н соответственно всегда указывать, в каком
смысле понимается стохастическое дифференциальное уравнение. В
дальнейшем мы
почти всегда будем пользоваться уравнениями Ито, не оговари-
вая этого специально. И только в тех редких случаях, когда нам придется
рассматривать стохастические дифференциальные Уравнения других видов,
будем указывать, в каком смысле они понимаются.
214
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
3.6.5. Приведение стохастического дифференциального уравнения к
уравнению Ито. Чтобы пользоваться методами статистического исследования
стохастических дифференциальных систем, которые будут изложены в гл. 5 и
6, приходится заменять стохастическое дифференциальное уравнение с 0-
дифференциалом, определяющее данный случайный процесс, уравнением Ито,
определяющим тот же процесс (но, конечно, с другой функцией а(х, /);
функция Ь(х, /), как мы увидим, при этом не изменяется).
Эту задачу мы будем решать только для случая винеровского процесса W (t)
(нормально распределенного белого шума V (/)). Для других случайных
процессов W (/) эту задачу решить не удается.
> Чтобы найти способ преобразования уравнения с 0-диффе-ренциалом к
уравнению Ито, решим сначала обратную задачу нахождения уравнения с 0-
дифференциалом по данному уравнению Ито. Предположим, что процесс X (t)
определяется уравнением Ито (79):
dX = a{X, t)dt + b{X, t)dW.
Это уравнение определяет дифференциал Ито процесса X(i). Чтобы
преобразовать его к виду 0-дифференциала, вспомнив определение 0-
интеграла, перепишем это уравнение в виде
dX = a(X, t)dt т-[(1- 0)Ь (*(/), t) + 6b(X{t + dt), t^-dt)\dW -
- Q[b{X{t + dt, t + dt) - b{X (/), t)]dW, или, с точностью до бесконечно
малых высших порядков, dX = a{X, t)dt + [{\-6)b{X{t), t)X
-(- Bb (X (t + dt), t^rdi)]dW'/ - Qdb(X, t)dW, (82)
где db(X, t) - дифференциал Ито процесса U (/) - b (X (/),/)•
Дифференциалы Ито элементов матрицы U (t) определяются формулой (61). При
этом роль процесса Z (/) играет X (/), а роль случайных функций X (/) и Y
(/) - а(Х, t) и b(X,t) соответственно. При подстановке в (82) выражений
стохастических дифференциалов элементов матрицы U (/), полученных по
формуле (61), придется учесть только члены с dW (t), которые дадут в (82)
слагаемые порядка dt. Остальные же члены дадут слагаемые высших порядков
малости. В результате получим для компонент вектора db{X,t)dW:
(db (X, t)dW)r =
Ч q р q
= X>"(X, t)dWs = ^ X X. dbr-^~bhl{x, t)dWtdWs.
s=l s=l 1 1=1 h
Легко видеть, что правая часть этого равенства представляет собой r-й
элемент матрицы-столбца
[(d/d?)T Ь (X, t) dW dWт Ь (I /)т] i=x.
§3.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
215
Следовательно,
db(X, t)dW ---=[(d/diyb(X, t)dWdW4(t, /)т]|_х.
Как и при выводе формулы (61), убеждаемся в том, что достаточно учесть
только математическое ожидание db(X, t)dW, которое имеет порядок dt.
Случайная же часть этой величины, имеющая тоже порядок dt, является
бесконечно малой высшего порядка по сравнению с dW. В результате формула
(82) примет вид
dX = {a(X, t) - Q[(d/dl)Tb(X, t)v(t)b{Z, ty]l=x} dt У-
-г [(1 -0) b (X (t), t) -p 0Ь (X (t -f dt), t -- dt)] dW
или
deX = {a (X, t)-Q [(d/dg)T b (X, t) \{t) b (E, /)T]^X} dt -f b (X, t) deW
*).
(S3)
Итак, стохастическое дифференциальное уравнение с 0-диф-ференциалом,
определяющее тот же случайный процесс, что и уравнение Ито (79), имеет
вид (83).
Из полученного результата следует, что если случайный процесс X
(/) определяется стохастическим дифференциальным уравнением с 0-
дифференциалом ,
deX = a1(X,t)dt-b[x,t)d0W, (84)
ю уравнение Ито, определяющее тот же процесс X(t), имеет вид (79), где
а (х, t) = аг (х, t) -+- 0 [(9/9Е)1 b (х, t) v (t) b (E, ty]l=x. < (85)
Доказанные утверждения относятся и к уравнениям (77) и соответствующему
(84) уравнению вида (80):
^f^ai(X,t) + b(X,t)V. (86,
А именно, уравнению Ито (77), определяющему процесс X (t), соответствует
уравнение с 0-дифференциалом (86), определяющее тот же процесс, и
наоборот, где функции а(х, t) и at(x, t) связаны соотношением (85).
Обратим внимание на то, что если функция b(x, t) не зависит от х, то
второе слагаемое в (85) равно нулю и а{х, t) = a1(x,t). Поэтому в случае,
когда коэффициент при белом шуме не зависит от неизвестной функции, все
виды стохастических дифференциальных уравнений с винеровским процессом W
(t) (нормально распределенным белым шумом V (/)), определяющие один и тот
же процесс X (t), совпадают.
*) Вспомним, что для любого процесса X (/) deX-dX. Дифференциалы 4в X и
