Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Х0 от будущих значений белого шума V совокупность случайных величин XTl,
. . ., Хт , Хт при
любых N, Tj < . . . < тv < т, г1 ф; t0 независима от совокупности
значений белого шума V в интервале [т, t) (точнее, от совокупности
приращений процесса W на любых подынтервалах интервала [т, /)).
Вследствие этого условное распределение значения процессах (/) в любой
момент / > т относительно его значений Хт . . ., Хт , Хт в моменты т1( .
. ., Тд>, т зависит только
N
от значения Хт и не зависит от Хх,, . . ., Хх .А это и зна-
чит, что X (/) является марковским случайным процессом (п. 2.1.3).
3.6.3. Замена переменных в уравнении Ито. При решении задач, связанных со
стохастическими дифференциальными уравнениями, так же как и в задачах с
обычными дифференциальными уравнениями, часто целесообразно
предварительно упростить дифференциальные уравнения подходящей заменой
переменных. Однако замена переменных в стохастических дифференциальных
уравнениях в общем случае отличается от обычной замены переменных в
дифференциальных уравнениях тем, что требует применения формулы Ито или
обобщенной формулы Ито вместо обычной формулы дифференцирования сложной
функции.
Предположим, что в стохастическом дифференциальном уравнении (77)
необходимо выполнить замену переменных У' = ф(Х, t). Чтобы сделать это,
необходимо в общем случае нелинейной функции ф найти по формулам (64),
(65) или (76) (в зависимости от характера процесса W (/)) стохастический
дифференциал Ито процесса Y (У) и заменить в полученной формуле X его
выражением из уравнения Y = ф(Х, /). Конечно, это уравнение должно иметь
единственное решение Х = ф-1(К,/). Иначе замена переменных ничего не
даст. В результате получится стохастическое дифференциальное уравнение
для процесса Y (/).
212
[Л. 3. ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
В частном случае линейной замены переменных, когда функция ф линейна
относительно вектора Л\ замену переменных в уравнении Ито можно
производить так же, как и в обычных дифференциальных уравнениях. В самом
деле, в пп. 3.5.2 и 3.5.4 было показано, что линейные функции случайных
процессов можно дифференцировать по обычной формуле дифференцирования
сложной функции.
Пример 25. Чтобы проинтегрировать линейное стохастическое
дифференциальное уравнение
dX - (а X - a(l) dt - b d\\", сделаем замену переменных Л' // (/, /"! тле
и (/, /")- решение однородного уравнения и- ии. удовлетворяющее
начальному условию и (/," /(р) - /. Так как матрица ;/(/, /п) обратима
(и. 1,2.2). то из X ~ ¦ и (/, /") Y следует
У //(/, /" 1Л . Дифференцируя эту формулу, получаем
или, принимая во внимание, что du (I. tn) ~ 1 --и (/, /п)~1а dt (п.
1.3.3). dY - -и (/, l,l)~laXdt rtt( l, t ,,)_1 (aX -j-n") di ¦ и ( /,
tv)~ 1b dW ---
Здесь правая часть не зависит от У. Поэтому, интегрируя полученное у
равнение, находим
Это та же самая формула, которая была получена в п. 3.3.2. Таким образом,
мы снова приходим к формуле (32) для решения линейного стохастического
уравнения, которая была полечена в п. 3.3.2 для случая процесса с
некоррелированными приращениями IF и ). Однако мы не просто повторили
здесь результат и. 3.3.2, а распространили формулу (32) на любые процессы
с независимыми приращениями W (/), в том числе и на такие, которые не
имеют моментов второго порядка, например па процесс Конт.
Пример 26. Рассмотрим скалярное уравнение
где W (/) - скалярный винеровский процесс. Сделаем в этом уравнении
замену переменных V Xe~z. где
dY du (t. /,,)' 1А' -j- и (/. ;n r= dX,
и {i. i ") - 'fin dt --- и ( /, /0) " ЛЬ dW.
Y Y, i //(t, IT) dx \ и a. /.,) 'b (t) dW (r).
dX (aX a0)dt fbX b,,)dW.
I Y -
Z(t) \ a(т)-- b- (г) | dx- - \ b it) dW (t).
f 0 ' a
В этом случае Y ф (Л', 7.) -Х?-''- и. следовательно.
cpt(X,Z) -- 0, фд. (Л, Z) ¦ (,_z, <:г {A', Z) - - Хе~г,
ф." (X, Z)О, <pxz (X, Z) - - е-г. ,г :г (Л\ Z) - Хе~?.
Пользуясь формулой Ито (61), находим
следовательно.
5 з.б. ш i'h: ины; дифференциальны!- >'i> л и г i f: 1111 >i
213
(bX -i b0) dW - Xc^zb dW =-
= |e~z j - e~zb-\X -e~zbbbX^ dt-|-
-\-e~zb0 dW e~z f(o" - \'bbfi) dt - b0 dW].
Правая часть этого уравнения не содержит Y. Поэтому, интегрируя это
уравнение, получаем
t /
У - У0 \ e~z ^Т) [а{) (т) -v (т) b (т) Ьи (т)] dx \ \ e~z <Т) Ь0 (т) dW
(т) п, Л,
И
/
Х{1).~ X0eZ(I>-\ \ ez<!^ z<x> [<j0 (т) - v (т) b (т) bit (т)' пт
1 к
- \ eZl',-Z(T: btl (т; dW (т).
3.6.4. Другие виды стохастических дифференциальных уравнений. Если
второй интеграл в (78) понимать как стохастический
0-интеграл, то уравнение (77) или (79) будет стохастическим
дифференциальным уравнением другого вида. В этом случае будем называть
уравнение (77) или (79) стохастическим дифференциальным уравнением с ^-
дифференциалом. Так как в приложениях стохастические дифференциальные
уравнения иногда понимаются как уравнения с 0-дифференциалом, обычно с
1.2-интегралом Стратоновнча, то ыйм придется иногда рассматривать и такие
уравнения.
Стохастическое дифференциальное уравнение с О-дифферен-циалом,
