Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
209
и формула Ито (61) дает
<Уф(Г)=-1ф' (W)v(()d( ]-^(W)dW,
где v (/) - интенсивность процесса W (/). Отсюда вытекает формула для
интеграла Ито от функции фСИ7):
t t
^ (Т ))dw (t)^cp(ir (/)) - ф (0) - i- J гр'(1V (т)) v (t) dx.
о о
После этого находим 0-интеграл от функции
t t t
^ ty{W (т)) dQW (т) - ^ ф {W (т)) dW (т) 0 ф' (W (т)) v
(т) <*т =
обо
t
=- ф("7 (/)) - ф(О)+^0 -ф' (W (т)) v (т) dr.
При 0=1/2 эта формула совпадает с обычной формулой Ньютона - Лейбница.
Таким образом, для любых функций винеровского процесса, для которых
известны первообразные, интегралы Стратоновича можно вычислять по обычной
формуле Ньютона - Лейбница.
§ 3.6. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения
3.6.1. Уравнение Ито. Дифференциальное уравнение
d? = a(X,t) + b(X,t)V (77)
называется стохастическим дифференциальным уравнением, если случайная
функция (обобщенная) V (t) представляет собой белый шум в строгом смысле
(п. 3.4.2). Пусть Х0 - случайный вектор той же размерности, что и
случайная функция X(t). Уравнение
(77) с начальным условием X {t0) =¦- Х0 определяет случайный процесс
X(t).
Чтобы придать уравнению (77) и высказанному утверждению точный смысл,
проинтегрируем формально уравнение (77) в пределах от /0 до t при
начальном условии Х(/|)) = Х0. В результате получим
t i
X(t)~- Х0-\ \ а (Х(т), т)dx - J b(X(x),x)V(x)dx,
t0
где первый интеграл представляет собой с. к. интеграл, а второй-
стохастический интеграл. Вводя процесс с независимыми приращениями W (/),
производной которого служит белый шум У (t), перепишем предыдущее
уравнение в виде
t i
X (t) = Х" ~f ^ а (X (т), т) dx ^ b (X (т), т) dW (т). (78)
/ 0 ^0
210
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Это уравнение имеет точный смысл. Стохастическое дифференциальное
уравнение (77) или эквивалентное уравнение
представляет собой сокращенную запись уравнения (78).
Уравнение (78), в котором второй интеграл представляет собой
стохастический интеграл Ито, называется стохастическим интегральным
уравнением Ито, а соответствующее дифференциальное уравнение (77) или
(79) - стохастическим дифференциальным уравнением Ито.
Случайный процесс X(t), удовлетворяющий уравнению (78), в котором
интегралы представляют собой с. к. пределы соответствующих интегральных
сумм, называется средним квадратическим или, короче, с. к решением
стохастического интегрального уравнения (78) и соответствующего
стохастического дифференциального уравнения (77) или (79) при начальном
условии X (/") - Х".
Если интегралы в (78) существуют для каждой реализации процессов W (t) и
X (t) и равенство (78) справедливо для каждой реализации, то случайный
процесс X (t) называется решением в реализациях уравнения (78) и
соответствующего стохастического дифференциального уравнения (77) или
(79) при начальном условии X (t")---= Хи.
Конечно, приведенные определения охватывают как частный случай линейные
стохастические дифференциальные уравнения, когда функция а(х, I) линейна
относительно х, a b(x, t) не зависит от х. Однако в § 3.3 мы
рассматривали более общие линейные стохастические дифференциальные
уравнения, не требуя, чтобы белый шум V (t) был белым шумом в строгом
смысле, и, следовательно, допуская, чтобы процесс W (t) был процессом с
некоррелированными, но, возможно, с зависимыми приращениями. Для
нелинейных стохастических дифференциальных уравнений приходится
ограничиваться случаем белого шума в строгом смысле V (/), когда процесс
W (t) является процессом с независимыми приращениями.
К уравнению (79) приводится и более общее стохастическое дифференциальное
уравнение Ито, в котором функции а и Ь зависят от процесса W:
В этом случае, положив X'(t) = W(t), приведем уравнение к системе двух
уравнений
Вводя составной векторный процесс [X (/)г X' (/)т]т, получим
стохастическое дифференциальное уравнение Ито вида (79):
dX--=a{X, t)dt + b{X, t)dW
(79)
dX = a(X, W, t) dl \ b(X, W, t)dW.
dX = a(X, X', t)dt + b(X, X', t)dW, dX'=dW.
d
a(X, X' 0
§3.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 211
Это уравнение с начальными условиями Х(/0) = Х0, X'(t0) - X'0, где Хд-
случайная величина, независимая от Х", распределением которой служит
одномерное распределение процесса W (t) при t = t0, эквивалентно
исходному стохастическому дифференциальному уравнению с начальным
условием Х,(/0) = Х0.
3.6.2. Уравнение Ито определяет марковский процесс. Стохастическое
дифференциальное уравнение Ито (77) и (79) при начальном условии Х(/0) =
Х0, где Х0- случайная величина, независимая от будущих значений белого
шума V (s), s'; t0 (будущих приращений W (s)-№' U), s >• / ^ (0, процесса
W), определяет марковский случайный процесс. Чтобы понять это, достаточно
заметить, что значение процесса X (/), определяемого уравнением (77),
полностью и однозначно определяется его значением X(т) в какой-либо
момент т ?[/", t) и значениями белого шума V в интервале [т, /).
Вследствие этого и вследствие независимости начального значения Х(г0) =
