Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
случайного процесса различаются лишь по форме представления этого
процесса в виде (57).
Выведенная в п. 3.5.2 формула Ито (61) позволяет установить соотношения
между различными видами стохастических дифференциалов, а следовательно, и
стохастических интегралов в частном случае, когда скалярный случайный
процесс U (I) представляет собой определенную функцию винеровского
процесса U (t) = q (W (t), t). В этом случае согласно (61)
dU = \^t{W, t)+± trfo^r, t)v(t)]jdt + 4:w(W, tfdW.
Чтобы преобразовать dU к виду 0-дифференциала, перепишем эту формулу в
соответствии с определением 0-интеграла
206
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
в п. 3.4.8 в виде
dU=^4(W, t)+^\r[<fww(W, t) v (t)]\ dt-j-4-[(1^0)Фда(Г(/), ty + Q<t-w(W{t
+ dt), / d,i)dW
- (r)[4W{W [td-dt), t rdt)T~yw(W (t), /)T] dW.
Остается выразить в последнем слагаемом компоненты разности 4>w(W{t +
dt), t-\-dt) - (fw(W (t), i) по формуле (61). При этом придется учесть
только слагаемое, содержащее dW, так как остальные слагаемые дадут
бесконечно малые высших порядков в выражении dU. В результате компоненты
разности d(f.u,(W, t) -= фто (W(t-rdt), t-\-dt) - срw{W {t), i) выразятся
формулой
ДДф(Г (( + <"), t + dl)-^-4(V(l), t)~
-? 7^rr*<r<0- ,'"tw
ft= 1
Следовательно,
[<Pw(W(t -^dt), t dty-фда (W (t), /)T] dW =
= V
k= i
dWk-
'Ц 9
= 1 dwUwh4(W^' t)dWkdWh = tr[%cw(W, t)dWdW*].
k,h= 1
Дальше так же, как в п. 3.5.2, убеждаемся в том, что следует учесть
только математическое ожидание величины dW dWT, так как среднее
квадратическое значение случайной части dW d.WT является бесконечно малой
высшего порядка по сравнению с dW. Математическое же ожидание dW dWT (т.
е. ковариационная матрица вектора dW) равно \{t)dt. В результате формула
для dU примет вид
Л/ = {фДГ, /)v(0]}d* +
+ [(1-0)ф№(^(О. ty + Qyw(W(t + dt), t + dty]dW
или
deU= l](ft(W, t)+ (у-в) tr[qw(iP. 0 v (*)]}<*+
+ Ф(r) (^i t)TdeVd. -4
Эта формула определяет 0-дифференциал процесса U {t) = ср (W (t), t) в
случае винеровского процесса W (/). В частном случае при 0=1/2 получаем
стохастический дифференциал Стратоновича
d,,tU = Ф*(1Г, t)dt + <pw{W, t)T d.i/2W.
§3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
207
Таким образом, для дифференциалов Стратоновича функций винеровского
процесса справедлива обычная формула дифференцирования сложной функции. В
этом состоит некоторое преимущество симметризованных стохастических
интегралов и соответствующих дифференциалов Стратоновича перед другими
видами стохастических интегралов и дифференциалов.
Однако для функций более сложных процессов и, в частности, для функций
пуассоновского процесса формулу для 0-днфференциала вывести не удается, в
то время как для дифференциала Ито это не представляет, как мы видели,
никаких трудностей. В этом состоит одно из многочисленных преимуществ
стохастических интегралов и дифференциалов Ито. В дальнейшем мы
встретимся и с другими, значительно более существенными их
преимуществами.
Из формулы для 0-дифференциала функции <р (W, /) вытекает следующая
формула:
Ф(№, /) = ф(№ (/"), /0) +
t
+ ] |фЛ^т, т)+ (у - е) tr[qvB,(№T, T)v(T)]jdT +
^0
t
+ ^ Фя' 7)TdeW(x).
10
Сравнив эту формулу с соответствующей формулой с интегралом Ито,
t
ф (W, /) = Ф (№(/"), /") + S
to
t
+ у tr т)v dT+ ^ x)TdW (т)>
to
получаем соотношение между 0-интегралом функции (pw(Wx, т)т и интегралом
Ито
i
т)тй01^(т) =
to
t t
=- 5 Ф(r) (w-c, tfdw (т) ф 0 5 tr [ф^ (WT, т) V (т)] dr.
to t о
Так как фW(w, t) может быть любой функцией, удовлетворяющей условиям
существования обоих интегралов в правой части этой формулы, то фW(w, t) в
ней можно заменить любой дифференцируемой функцией ф(ш, t),
удовлетворяющей этим условиям.
208
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. УРАВНЕНИЯ
ЯТ.
Таким образом, для любой матрицы-строки /)
t
т) d0W(x) =
i0
= l$(wx, T)dr(T)+ejtr|rM^j)v(T)
fn to
Пример 22. Для функции ty(W,t)-~ew стандартного винеровского процесса W
(/) полученная формула дает
t / i
^ (х) = j eW'dW h) + 0 j e^' mdx.
0 0 0 Но согласно результату примера 19
t t
§ ew <T> dW (i) = ew ">-1 -у dx.
0 0
Следовательно,
t t
j <x) deW{X) = eW + j ew ^ dx.
о о
В частном случае при 0=1/2 эта формула совпадает с обычной формулой для
интеграла от показательной функции.
Пример 23. Для функции ity(W, t)=Wn стандартного винеровского процесса W
(/) получаем
t г t
( W'(x )deW(x)-^^ Wn (т) dW (t) + 9"5 W,'-1(x)dx.
0 0 0
Но из формулы для дифференциала Ито функции Wn : 1 (/),
i(/)=i- (я+ 1) nW"-1 (t)dt + (n-'r 1) W" (0 dW (t),
следует, что
t t
\ Wn(T)dW{x) = - \ W^-1(x\dT
0 1 0
(напомним, что ИР (0) 0). Подставив это выражение в предыдущую
фор-
мулу, получаем
t i
J W" (т) d0IF (т) = w~-" M+U-±)n§ W"-Ht)dx. о 1 " о
При 0=1/2 эта формула совпадает с обычной формулой интегрирования
степенной функции.
Пример 24. Вообще, для любой функции ф(1Т) скалярного винеровского
процесса W (/), имеющей первообразную <p (W), имеем
ф'(В7)=ф(Г), ф"(Г)=ф' (W),
S 3.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
