Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы вычислить характеристическую функцию gy (А,) величины Vlt заметим,
что V1 при данных г, т, t и Y представляет собой функцию векторной
случайной величины
cAP(t, dx),
Rq
которая в свою очередь представляет собой приращение процесса с
независимыми приращениями
W3(t)^Y \ c{x)P{t, dx).
R4
Учитывая это, находим по формулам (33) и (43) характеристическую функцию
Н(ц) величины S,
1п/г(р)=^ (е'чт Щ-l)vp(/, х) dx At о (At).
R"
Так как правая часть здесь - бесконечно малая порядка At, то h (ц) = 1 у
In Л (р) -р о (At) -
1 \ (edd Ус-1 )vp(t, х) dx At d o (At). (71)
Rq
Определив характеристическую функцию величины S, можно найти ее плотность
(ТВ, п. 4.5.2)
(72)
Rn
где п - размерность векторов Z я S. После этого характеристическая
функция величины V1 определится формулой
gy (А) = ^ еО.[ф(2- ",т)-ф(г, т)3 f (S) gs,
Rn
Подставим сюда выражение (72) плотности f (s) и заменим
характеристическую функцию /г(р) величины see выражением (71). Тогда
будем иметь
g1(l)= (2^ j ^ е^[ф(г + 5,т)-ф(г, in-i"sd\lds +
RrlRn
W§ ^ |-ф (г + 3,т,_ф (г'{е?м-т- s)-g-'nTs} х
(2л)'
R4 цпцп
xv"(/, х) d\idsdx At -f о (At).
§3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
203
Но (ТВ, приложение 1)
_L_ \ еп? (Yc-Si &(Yc - s) = & (s - Yc).
Rn
Следовательно,
g'l ('-) = S e°"[ф (г"s- T)_ ф <г'т)] 6 (s) ds +
Rn
<z_s'Х)_Ф (г'T)1 (^c - s)- &(s)} vP(t, x)dsdx.
HdRn
Отсюда, вспомнив, что интеграл от произведения 6-функции на любую
непрерывную функцию равен значению этой функции при значении переменной
интегрирования, обращающем аргумент 6-функции в нуль (ТВ, приложение 1),
получаем
g-1(^)=1+ \ {е1'ГФ(^ГТ, т)-ф(г,т)]_1} x)dxM + o(M).
Rq
Правая часть этого равенства отличается от 1 на бесконечно малую величину
порядка At. Следовательно,
In gy (А,) ^ gl (Я) - 1+о (At) =
^ lei[<?(z+Yc,T)-v(z, т)]_1} Vp(it x)dxAtd-o(At).
Rq
Сравнив эту формулу с (70), видим, что характеристические функции величин
Й1 и V2 отличаются одна от другой на бесконечно малую величину высшего
порядка по сравнению с At. Поэтому при At - > 0 можно принять V1 = V2, т.
е.
ф(2+Н \c(x)AP(t, dx), - ф(2, т) =
V Rq
= ^ [ф(г + Нс(х), т) - ф (z, т^Д/3)/, dx).
Rq
Следовательно, вторую разность в (68) можно выразить формулой
-I (Z • A,Z \+, t + At) - v(Z + A1Z, t + At) =
~ ^ [ф (Z + AjZ + Yc (x), tdrAt) - ф (Z + AiZ, tdrAt)\AP(t, dx),
Rq
или, с точностью до бесконечно малых высших порядков,
Ф^ + А^ + Д^, t + At) - ф(2 + А12, / + Д/) =
= $ [ф (Z + Y(t)c(x), t) - y(Z, t)]AP(t, dx). (73)
Rq
204
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Подставив выражения (69) и (73) в (68) и заменив приращения
дифференциалами, получим следующую формулу для стохастического
дифференциала процесса U (/) = ср (Z (/), /):
.'/Г Цд/, п '.Л/. ty
X (l) - Y (t) \ c{x)\'p{t, x)dx
¦4-tr[4>"(2, ¦'! V(/!v,(/))4T!' dt^r - <f.- (Z, ty Y (t) c!W ,r-'r ^
[y{Z~-Y(t)c(x), t)- <p (Z, i)\dP(t, dx),
Rq
(74)
Наконец, возвращаясь к центрированной пуассоновской мере, заменим dP((,
dx) выражением vp (t, х) dx dt -f dPn (t, dx). Тогда получим
окончательную общую формулу дифференцирования сложной функции
<7Г /! щ. I/, /г .V (/i
-4tr [ЯН- (Z> ^ Z (0 И (0 Z (0T]
5 Vi(zd-Y(t)c{x), t) - cp(Z, t) -
Rq
- Ф. (Z, ty Y (t)c (a')] vp (t, x) dx) dt ~f yz (Z, /)T Y (t) dW" -
+ ^ [<p{Z---Y [t)c(x), t) - (p(Z, t))dP"(t, dx). ^ (75)
Rq
Формула (75) называется обобщенной формулой Ито.
Пользуясь обозначением (63), получаем из (75) соответствующую формулу дли
стохастического дифференциала векторного случайного процесса U (/) --
ср(Z (/), /):
dU~{<fi{Z, Л ц, (Z, tyx(t)p
Я: H(/)v" (/)Н (/)T-f
+ \ [ср (Z-f Н (0с (а-), t) - (f(Z, t) -
Rq
- cpz (Z, /)т П (t) с (Д-)] vp (/, А') Тт) dt -) (Z, /)т Y (/) Л-
+ I L(p(zo-Y(t)c(x), t) - cp(Z, /)]с/.Р0(/, с/х). (76)
Rq
В частном случае линейной функции cp(z, /) az и,
Ф* (г, 0 =- "т, Фгг = 0, ср (Z--Y (t)c(x), i) - cp(Z, t) = o.Y (t) с (х)
jS СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
205
и формула (76) дает
dU = (aZy- а0) dt--а [х (f) dty-Y (/) dWu
-f- Y (t) 5 c(x)dP°(t, dx) (a'Z "")<;/ o c/Z.
r4 J
Таким образом, и в общем случае линейную функцию можно дифференцировать
по обычному правилу дифференцирования сложной функции.
3.5.5. Другие виды стохастических дифференциалов. В зависимости от
того, как понимается стохастический интеграл в (57), можно ввести разные
виды стохастических дифференциалов. Так, если стохастический интеграл в
(57) представляет собой 0-ин-теграл, то формула, аналогичная (58),
Z..Z Xdl К </(ДГ
определяет стохастический 0-дифференциал.
Если один и тот же случайный процесс Z (t) может быть определен формулой
(57) при двух различных толкованиях стохастического интеграла,
/ t
z (0 - Z" Х", (т) dx г- \ Ко, (х) d9l W (т) =
?(. I А
t t
-¦ ¦- z0 -f S Х,." (Т) dx - \ К()г (т) de" W (т),
7, и
то соответствующие стохастические дифференциалы rfo.Z и d^.Z будут равны
один другому, cfe,Z -= de,Z, или
Хо, dt - Ко, с/е.Г = Хо2 dt -f К02 de.W¦
Таким образом, разные стохастические дифференциалы одного и того же
