Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
тФ (Z(t)-rY(t)AP, t) cj (Z (/), /).
Сравним теперь две случайные величины
1Ф-Ф (Z(t)yY(t)AP, t)-ip(Z(t), I)
и
V, = [9(Z(0--К(0, /)-T(Z(/), /)] Дя.
Величина ДЯ распределена по закону Пуассона и ее математическое ожидание
равно v (/) Д/. Следовательно, она принимает значение 0 с вероятностью
rv(,,4(, значение 1 с вероятностью e~v(V Atv (t) At и значение >1 с
суммарной вероятностью порядка At2. При этом величины V1 и V2 обе
принимают значение 0 с вероятностью е-ФОДф значение ф (Z (/) -f Y (/),
t)- - Ф (Z (/), 0 с вероятностью е~г(^дХ(/)Д/ и другие значения с
суммарной вероятностью порядка ДЯ. Таким образом, для бесконечно малых Д/
величины и П., распределены одинаково, вследствие чего величину Vl в
выражении ДU можно заменить величиной VТогда получим с точностью до малых
высших порядков
ДU = {ф, (Z (t), t) У го, (Z ((), ty [X (t) - Y (/) v (/)]} Д/ -f - [Ф
(Z(t)yY(t), 0 -Ф (Z(0, /)]АЯ =
= {ff#(Z(0, 0 + фЛ2(0, 0т[Х(/) -г(/)v(/)]x Ч [Ф (z (t) + Y (/), t)~Ф (Z
(/), /)] V (/)} Д/ -f
ч-[ф (z (/)-;-г (/), t)-<?(Z(t), tyAw.
Отсюда, переходя к дифференциалам и опуская аргумент / функций X(t), Y
(t), Z(t), v(/), получаем
dU = {фд (Z, /) + фг (Z, /)т (X - Yv) +
+ [ф(г + П, /)-ф(г, /)] v} dt 4- [ф (Z 4- Y, t) - Ф (Z, ^
(66)
Эта формула дифференцирования сложной функции совсем не похожа на обычную
формулу математического анализа. И лишь в случае линейной относительно z
функции ф(г, t) она совпадает с обычной формулой. Действительно, если
tp(z, t) = a(t)z,
200
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
то формула (66) принимает вид
dU = {aZ -г а (X - Yv) + [a{Z + Г) - aZ] v} dt + aY dW =
- (aZ -j- аХ) d/ + aF = aZ rf/ -j- a dZ.
Легко видеть, что формула (66) справедлива и для векторного процесса U
(/) = <p (Z (/), /).
Пример 20. Стохастический дифференциал Ито от квадрата пуассоновского
процесса U (t) = P2 (t) согласно (66) определяется формулой
dU [(Р + I)2 - Р2] (v dt + d.W) = (2Р + 1) ЛР,
так как в данном случае Z(t) - P(t), ср (г, /)==г2, dZ - ЛР - - v dt -f-
dW и, следовательно, X(t)=- x (t), Таким образом, и в случае
центриро-
ванного пуассоновского процесса W (/) обычная формула для дифференциала
степенной функции неприменима.
Пример 21. Дифференциал Ито от показательной функции пуассоновского
процесса U(t)-eP(i> в соответствии с (66) определяется формулой
dU =, (еР "> + 1 - еР ">) (v dt +dW) = (e-l) еР "> ЛР (t),
так как в данном случае Z(t) - P(t), ср (г, t)-ez, dZ =dP ~v dt-\-dW и,
следовательно, X (t) - x (t), Y (t) - I. Таким образом, и в этом случае
обычная формула дифференцирования показательной функции неприменима.
Аналогично выводится формула дифференцирования сложной функции, когда W
(/) в (34) представляет собой линейную ком бинацию независимых
винеровского и пуассоновского процессов
3.5.4. Дифференцирование сложной функции в общем случае Перейдем
теперь к общему случаю, когда процесс с независи мыми приращениями W (t)
в (57) определяется формулой (42)
W = c(x)P°(t, dx).
Подставив это выражение в (59), представим приращение процесса Z(t) в
виде
ДГ0-{-$ с(х) ДР° (/, dx)
AZ = X(t)At+Y(t)
где W0(t) - винеровский процесс, a P°(t, А)- центрированная пуассоновская
мера (п. 3.4.4). Заменив здесь приращение центрированного пуассоновского
процесса P°(t,dx) его выражением
ДР°(/, A) - AP{t,A)-^Ди(/, x)dx = AP(t, А) - ((, x)dxAt,
а л
где vP(t, х) - производная функции р(/, х) по t, получим
AZ =
X (/) - Y (t)\ c(x)vP(t, x)dx
At-
+ Y (t) AW0 + Y (/) J с (x) AP (t, dx). (67)
Rq
§3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
201
Пусть ф(г, t) - непрерывная скалярная функция с непрерывными первыми
производными по компонентам вектора z и по t и непрерывными вторыми
производными по компонентам вектора г. Найдем стохастический дифференциал
случайного процесса
U(t) = <p(Z{t), t).
> Представим приращение процесса U (t), опуская для краткости аргументы
функций под знаком функции, в виде
АН - tp(Z-fAZ, tAt) - <( (Z, /) = tp (Z-f AjZ, t -I- A/) - <f(Z, 0 +
+ ?(Z + A1Z + ASZ, ^ + -9(Z + A1Z, t-rAt), (68)
где
A1Z=\x - Y\ cvpdx At -f Y AW 0,
L R4
A.,Z = Y § cAP(t, dx).
Rl
Преобразуя первую разность в правой части формулы (68) совершенно так же,
как в п. 3.5.2, получим
f(Z~'rA1Z, tAt)- ф (Z, t) =
= {ф<(2, О + ФЛ2, tyi^X - У 5 cvpdx) +
0^vorT]j AH 'P2(Z, tfYAW0, (69)
где v0 - интенсивность винеровского процесса W0(t). Займемся второй
разностью в правой части формулы (68). Рассмотрим случайные величины
^1 = Ф (z-f Y\cAP(t, dx), т) -ф(г, т),
У 2 = $ [ф (г + Yc, т) - ф (г, т)] АР (t, dx).
Сравним их распределения. Для этого вычислим их характеристические
функции gt(A.) и g2(k). Учитывая, что V.z представляет собой приращение
процесса с независимыми приращениями
= [ф {z-\-Yc{x), т)~ф(г, x)\P[t, dx), нч
по формулам (33) и (43), учитывая, что
р(/ + А/, х) - fx(t, x) = vp(t, x)At-po(At),
получаем
*п§г(^) = 5 {еа [ф(г+Ус>т>-Ф<г- г)1 - 1}V/>(C х) dx At -j- о {At). (70)
R4
202
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
