Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
последнего слагаемого правой части (60) имеет порядок А/, т. е,. является
величиной высшего порядка малости по сравнению с величиной ([ z(Z(t), t)
'Y (t) AW, которая имеет порядок малости VAt. Следовательно, мы должны
учесть только математическое ожидание последнего слагаемого правой части
(60). В результате получим
\\ \yx,C/.U).l) п,(/(/), /)4\'(/)
-Nic t)Y(t)v(t)Y(l)r, А/ (/</). tYY(t)\W.
Переходя от бесконечно малых приращений к дифференциалам, находим
стохастический дифференциал Ито случайного процесса
U(t)=of (Z(t), t):
d(J -- jqy (Z, /) ф- фл (Z, ty X 4 у tr [tzz (Z, t) YvYT] | dt -f
<; . (Z, /)' YdW. < (61)
Эта формула, называемая формулой Ито, в общем случае отличается от
обычной формулы дифференцирования сложной функции последним слагаемым в
фигурных скобках [29].
§3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
197
В частном случае, когда функция cp(z, /) представляет собой произведение
двух первых компонент вектора z, U (/) - (/) Z., (/),
из (61) вытекает формула для стохастического дифференциала произведения
двух процессов, определяемых формулой вида (57):
d (ZXZ2) = Zt dZt + Z2 dZx -f- 1 (KjvKJ-- Y,vYl) dt,
где Yl и Yo - первая и вторая строки матрицы Y соответственно. Но для
любых матриц-строк одинаковой размерности а и b и любой квадратной
матрицы с acbr = bcaT. Следовательно, Y.,\'Yl--Y]vY2, и мы получаем
окончательную формулу для дифференциала Ито произведения двух случайных
процессов:
d (ZjZ,) = Zt dZ2 + Z2 rfZ: -I - HjvFTdt. (62)
Формулу (61) можно записать и для векторной функции ф(г, /) = [срх (г, i)
. . . ср" (z, /)]т. С этой целью обозначим через ФZZ:A матрицу-столбец,
элементами которой служат следы произведений матриц вторых производных
соответствующих элементов фp(z, t) матрицы-столбца ф(г, /) по компонентам
вектора г на матрицу А:
(Pzz'A - [tr{((izzA) . . . tr (ф",гЛ)]т. (63)
Пользуясь этим обозначением, из (61) получаем следующую формулу для
стохастического дифференциала векторной случайной функции U (/) = ф (z
(/), /):
dll |(f, (Z, t) ф, (Z, t)г X + у (Z, t): YvYT dt 4-
¦i '.IZ. / )' YdW, (64)
где ip^(z, t) = (d/dz)q:-(z, t)T.
В частном случае линейной функции ф (z, /), ф (z, t) = а (г) z, формула
(64) дает
dll - (aZ f аХ) dt -[г аУ dW = aZ dt -j- a dZ.
Таким образом, для линейной функции формула (64) совпадает с обычной
формулой дифференцирования сложной функции.
Стохастические дифференциалы Ито типовых нелинейных функций стандартного
винеровского процесса и многомерного винеровского процесса приведены в
приложении 6.
Пример 18. Стохастический дифференциал Ито квадрата стандартного
винеровского процесса W2 (1) согласно (61) равен
dW2 (t) = di-\-'2W (t) dW (/),
так как в этом случае X (/) =. О, Y (t) - 1, Z(i)=-W(i), q (Z,
Интег-
рируя эту формулу в пределах от 0 до Т и учитывая, что UX (0) = 0,
находим
т
W2 (Г) = Г-;. 2 ^ W (t)dW (t).
0
198
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
откуда
г
j Г(т)<Ш(т) = у [Г2 (Г)-Г], о
Таким образом, интеграл Ито от стандартного винеровского процесса по
этому процессу нельзя вычислять по обычной формуле интегрирования
степенной функции.
На основании результата примера 17 стохастический 0-интеграл при любом 0
отличается от интеграла Ито на величину ВТ: т
j W (т) deW( = (T)+(0-lj Т.
о
Пример 19. Стохастический дифференциал Ито показательной функции
стандартного винеровского процесса согласно (61) равен
dew B>==:±.ew:hdt^e\v")dW (t).
Таким образом, обычная формула для дифференциала показательной функции
здесь неприменима.
3.5.3. Дифференцирование сложной функции в случае пуассоновского
процесса. Рассмотрим теперь случай, когда W (t) в (57) представляет собой
центрированный пуассоновский процесс. Пусть ф(г, t) - непрерывная
скалярная функция с непрерывными производными cpt(z, г) = c?tp (z, t)/dt,
rpz(z, /) = <3q>(z, t)/dz. Найдем стохастический дифференциал случайного
процесса U (t) = tp (Z(/), /).
^ Для этого вычислим приращение процесса U (г) при бесконечно малом
приращении At аргумента t:
AU = cp (Z (i At), t -j- А/) - ф (Z, t) =
= ф(Z(/-гA/), t -г At) - (f (Z (t-г At), t)-\-
+ <P(Z(t + A/), t) - cp(Z(0, 0-
Отсюда, пользуясь формулой Тейлора, находим с точностью до малых высших
порядков
AU = <pt(Z(t-'rAt), t) А/4- q>(Z(t) + AZ, t) - q>(Z(t), t). (65)
Ho AZ^ X (/) At -T Y (i) AW, где W (/) - центрированный пуассоноз-ский
процесс W(t) = P(t) - МР (t). Обозначим через v(z) интенсивность потока
скачков процесса P(t). Тогда, считая, что Р(0) = 0, будем иметь (ТВ, п.
1.9.4 и пример 3.2)
t
МР (t) - р = J v (т) dx
о
и
AW = AP - v(t)At.
Следовательно,
AZ = [X (t) - V (t) v (t)] At + Y (t) АР.
§3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
199
Подставив это выражение в (65) и снова пользуясь формулой Тейлора,
получаем
ДU = q t (Z (/ Д<), /) Д/ -Т ф (Z (/) +
-; [Х(/)^Г(/)л-(/)]Д/ + Г(/)Дя, /)-ф(2(/), /) =
(Z (t + At), /) Д? + ф (Z (/)+[Х (/) -К (/) V (01 А/ + Г (/) ДЯ, О - -
Ф(г(/) + к(одя, /)^ф.(г(/) + к(0Дя, /)-t(Z(/), о =
= (ф, (Z (/ + А/), о + Ф, (2 (/) + Y (/) ДЯ, ty [X (t)-Y(t) V (/)]} Д/ +
