Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
где первый интеграл представляет собой с. к. интеграл, а второй -
стохастический интеграл Ито по процессу с независимыми приращениями W
(/). Предполагается, что случайные функции X (/) и Y (/) удовлетворяют
условиям, при которых оба интеграла в (57) существуют, В этом случае
принято говорить, что случайный процесс Z(i) имеет стохастический
дифференциал Ито
dZ = X dt -f Y dW. .(58)
Эта формула представляет собой сокращенную запись интегрального
соотношения (57).
Так как процесс W (/) не имеет с. к. производной в обычном
смысле, то dW, а следовательно и dZ, не является дифферен-
циалом в привычном смысле. Тем не менее равенство (58) имеет вполне
определенный смысл. В самом деле, на основании определения с. к.
интеграла в п. 2.4.5 и определения стохастического интеграла Ито в п.
3.4.6 приращение случайной функции Z (() на малом интервале АI изменения
аргумента t приближенно равно
AZ = Z (/ + At) - Z (/) = X (/) At -г Y (t) АГ, (59)
где &W = W (/ -i- At) - W (t). Чтобы оценить порядок малости слагаемых в
последней части, возьмем условное математическое ожидание величины AZ при
данных значениях х, у величин X (t), Y (/). Принимая во внимание, что
величина AW не зависит от Y (/), вследствие чего условное математическое
ожидание величины A W при Y(t) = y равно M[W(t-d&t) - \^(/)] = 0,
получаем
М [AZ | х, у\ = х А/.
§ 3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
195
Таким образом, условное математическое ожидание приращения AZ при X (/) =
х, Y (t) = у имеет тот же порядок малости, что и At. Условная
ковариационная матрица (дисперсия в случае скалярного процесса Z{t))
величины AZ при X{t) = x, Y(t)=y имеет тот же порядок, что и
ковариационная матрица величины AU7 (/), которая на основании формулы (2)
приближенно равна v(/)A/, т. е. тоже имеет порядок малости At.
Следовательно, средние квадратические значения компонент вектора AZ имеют
порядок малости VAt. Таким образом, в отличие от обычного дифференциала
функции и с. к. дифференциала случайной функции, которые всегда имеют
порядок At = dt, стохастический дифференциал состоит из двух случайных
слагаемых, одно из которых имеет порядок At, а второе - VAt. И несмотря
на это различие в порядке малости слагаемых, первым слагаемым, имеющим
более высокий порядок малости, чем второе, пренебрегать нельзя. Оба
слагаемых играют одинаковую роль в формировании процесса Z(t), как это
показывает формула (57).
3.5.2. Дифференцирование сложной функции в случае винеровского
процесса. Рассмотрим случай, когда W (/) в (57) представляет собой
винеровский процесс, а случайные функции X(t) и Y (/) действительны *).
Пусть tp (г, t) - действительная скалярная функция, непрерывная вместе со
своими первыми и вторыми производными по всем компонентам вектора г и
первой производной по t. Найдем стохастический дифференциал Ито
случайного процесса
U (t) = Ф (Z (t), t).
> Для этого представим формулой Тейлора приращение AU = U(t-,~At) - U (t)
с точностью до членов порядка At. При этом, учитывая, что AZ является
величиной порядка VAt, мы должны будем учесть и члены второго порядка
относительно AZ. Тогда получим
АП = ф (Z [t 4- At), tAt)- rp (Z(t), t) =
= Фt(Z(t), t)\i 'i . (Z i ¦), /)T AZ + ±-AZTyzz(Z(t), t) AZ - .-
=[cpt(Z(0, t)-'r cpz(Z (t), t)! X{t)\ Д/ +
-!- фу (Z (/), ty Y (/) AU7 +1 AlFrZ {ty Ф" (Z [t], t) Y [t] AW,
где фу (г, /) = оф(г, t)!dl, фг (г, t) = (д/дг) ф (z, t) - матрица-
столбец, элементами которой служат производные функции ср (z, t) по
компонентам вектора г, а q>zz(z, t) = (д/dz) (д/дг) с ц> (z, t) - матрица
вторых производных ф (z, /) по компонентам вектора г.
*) Напомним, что в общем случае X (t) - векторная случайная функция, a Y
(/) - прямоугольная матричная случайная функция.
196
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
В последней части равенства мы отбросили слагаемые с произведениями А№ At
и А/2, так как эти слагаемые имеют порядок малости выше, чем А/. Принимая
во внимание, что для любого вектора (матрицы-столбца) а и любой
квадратной матрицы В arBa -= tr(Ваа!), перепишем полученное равенство в
виде
AU - [(р( (Z (/), /)4-cpz(Z(/), 0ТХ(/)]Д/ +
+ Фг(2(/), tYY(t)W + ±tr[<pzz(Z(/), t)Y(t)AW AW-Y(ty]. (60)
В силу независимости Z (/), Y (t) от AW = W (t -f A/) - W (t) условное
математическое ожидание последнего слагаемого в правой части (60) при
Y(t) = y, Z(t) = z равно
у tr[rpzz(2, t)y\'{t)yT] А/,
т. е. является малой величиной порядка At. Условцый момент второго
порядка этого слагаемого представляет собой сумму, каждый член которой
содержит множителем центральный момент четвертого порядка случайной
величины AU4 Но для нормально распределенных величин центральные моменты
четвертого порядка выражаются через попарные произведения центральных
моментов второго порядка (ТВ, пример 4.34), которые имеют порядок At.
Таким образом, центральные моменты четвертого порядка величины A W имеют
порядок малости А Т, а среднее квадратическое значение последнего
слагаемого правой части (60) имеет порядок At. Поэтому случайная часть
