Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
kn = MYpY4== 2 ) MXpr(x)Xgs(x)vrs{x)dx
г, s=l а
(.р, 0=1, . . . , п).
Отсюда вытекает следующая формула для ковариационной матрицы интеграла Y:
ь
Ху = MYY* = $ MX (т) v (т) X (т)* dx. (53)
Порядок множителей в этой формуле в общем случае не может быть изменен.
3.4.8. Другие виды стохастических интегралов. Построив интегральные
суммы Yn при других выборах точек, в которых берутся значения случайной
функции X (/), в интервалах t^-D, /р}], получим другие определения
стохастического интеграла. Взяв, в частности, значения X (7) в правых
концах интервалов [dp-i, /р'], определим стохастический интеграл
192 гл. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
После этого для любого 0 ? [0, 1] можно определить стохастический 0-
интеграл ь
Те = J X (т) de W (т) = (1 -0) У - 0УД =
а
Nn
- l-i.m. 2 + (54)
П -> CD Р- 1
Очевидно, что интеграл Ито представляет собой 0-интеграл при 0 = 0, а
интеграл УД-0-интеграл при 0 = 1. При 0 = 1/2 стохастический интеграл
(54) представляет собой симметризован-ный стохастический интеграл
Стратоновича [72, 73].
Интеграл Ито обладает большим преимуществом перед другими видами
стохастических интегралов. Это преимущество заключается в простоте
вычисления моментов интеграла. Для интеграла Ито математическое ожидание
и дисперсия (ковариационная матрица в векторном случае) вычисляются, как
мы видели, совершенно элементарно. Вычислить же математическое ожидание
0-интеграла при 0^=0 в общем случае очень трудно вследствие зависимости
Х(С) от W {t(tm)) - W (/(tm)i).
Пример 17. Для иллюстрации зависимости стохастического интеграла от
выбора точек в интервалах \_dpdi, ^рЛ)], в которых берутся значения X
(t), рассмотрим 0-интегралы
Т Т
Ч = 5 W (X) dew (Т), Ч = 5 W (т) d0W (т),
0 0
соответствующие двум различным значениям 01 и 02 параметра 0, где W (t)-
стандартный винеровский процесс. В силу определения (54), взяв 'i?>=pT/n
(р = 0, 1, .... я), получаем
(рТ\ т((р-\)Т
¦р
W \ -с- - W
\ п J
ау=Ч-Ч=(0*-01) 1л-т- X "-*¦" Р=1
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины АЕ. Так как
величина W (рТ/п)- W ((р-1) Т/га) распределена нормально, ее
математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна Tin (пример 1), то
п
Д4ДГ = (02-01) lim ? -?.= (0,-0,) Г 1 п
и
-Л1 (АК)* = (0,-0i)* lim { У) M[W(pT/n)-W((p-\)T/n)]^-
+ 2 М № (pTln)-W ((p-l)Tln)}*[W (qT/n)-W ((q-l)T/n)]
РФ Я
где вторая сумма распространяется на все р, q, р Ф q. Но центральный
^момент четвертого порядка нормально распределенной случайной величины
* 3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 193
равен утроенному квадрату ее дисперсии (ТВ, п. 3.6.1). Следовательно, М
[W(pTln)~W ((р-1)77я)]4 = 3(77я)2 и
М {ДУ)* = (0. -0i)a lim {3^~L-?-?•[ =
V P-in рФя n )
^(0,-0!)* lim V 5-) =
v P=i д p.?=i д ;
(02 - Si)2 lim (2 - T2 '=10-2- 0i)2 T-.
tl oo \ П
Теперь можно найти дисперсию случайной величины ДУ' (ГВ, п. 3.2.4): DAY
=--М (AY)2 - (М АУ)2 = 0.
Таким образом, величина Д5' не случайна и, следовательно, совпадает со
своим математическим ожиданием, ДК = (02- 0i) Т. Это и доказывает, что
стохастические интегралы, соответствующие разным значениям параметра 0,
различны.
3.4.9. Стохастические интегралы как интегралы, содержащие белый шум.
Как и в случае стохастических интегралов от неслучайных функций,
стохастические интегралы от случайных функций можно рассматривать как
интегралы, подынтегральные функции которых содержат множителем белый шум
(в строгом смысле). Имея в виду формальное соотношение dW (t)ldt = V (/),
можно записать стохастический интеграл Ито (48) в виде ь ь
J Х(т) <ЛР(т) = J Х(т)К(т) dx.
В аналогичной форме можно записать и стохастические 0-интег-ралы. В
дальнейшем все интегралы от произведения случайной функции на белый шум в
строгом смысле будем понимать как стохастические интегралы Ито.
3.4.10. Общий интеграл Ито. Пусть Y (t) - случайный процесс,
определяемый формулой
t i
Y {t) - Y (*") + J X, (т) dx + J X2 (x) dW (t), (55)
to to
где первый интеграл представляет собой с. к. интеграл от слу-чайной
функции ^i(/), а второй - интеграл Ито от случайной функции Х2 (t) по
процессу с независимыми приращениями W (t). Случайные функции Хх(/) и Х2
(t) предполагаются удовлетворяющими условиям, при которых оба интеграла
существуют при любом t в некотором интервале Т. Пусть X (t) - случайная
функция.
194
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Интегралом Ито от случайной функции X (/) по процессу Y ( t) в пределах
интервала (а, Ь) называется сумма интегралов
b b ь
5 X (т) dY (т) = 5 X (т) Хг (т) dr -f 5 X (т) (т) dW (т), (56)
а а а
где первый интеграл представляет собой с. к. интеграл, а второй -
интеграл Ито. При этом, конечно, случайные функции Х(/)Х1(') и X(i)X.2(t)
должны удовлетворять условиям, при которых оба интеграла в правой части
формулы (56) существуют.
§ 3.5. Стохастические дифференциалы
3.5.1. Дифференциал Ито. Рассмотрим случайный процесс
t t
Z(t) = Z(t0)-\-\X(T)dT-r\Y(r)dW(x), (57)
U h
