Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
что случайный вектор с компонентами X (^), . ..,X(fjv), ^ (Si), •••, W
(sM) не зависит от W (s) - W (t) при любых N, М, t-!< ... < tN^t, s1< ...
<sM^t<s, a=t(0m < t\m < ... < tff = b (n = 1, 2, . . ^ -
последовательность
разбиений {Pn} интервала (a, b), такая, что
A" - max (t(pm - fpli) -0 при ti-+ oo.
p
Образуем последовательность сумм
Nn
Yn=J^X(t^1)[W(ir)-W(t^.1)] (n=l, 2, ...).
p= i
Стохастическим интегралом Ито от случайной функции X (I) по процессу W
(t), распространенным на интервал (а, Ь), называется с.к. предел
последовательности сумм [28]:
Ь JV"
Y=[X(x)dW(x) = l.i.m. 2 X да) [W (t(tm)) - W (tfh)}. (48)
a x P ~ 1
Обратим внимание на то, что значение случайной функции X (t) для каждого
интервала [tfU, t^) берется в левом конце этого интервала и это
существенно, так как предел в (48) изменится, если заменить X (1{р1х)
значением X (() в какой-нибудь другой точке интервала [г?2,, Этим
стохастические интегралы
S 3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 18S-
от случайных функций отличаются от обычных с. к. интегралов и от
стохастических интегралов от неслучайных функций.
> Для установления условий существования интеграла Итсг воспользуемся
теоремой о с. к. сходимости п. 2.4.2. Согласно этой теореме для
существования интеграла (48) необходимо и достаточно существование
предела lim MYnYm, независимо оттого, как п, т-> оо. Для вычисления lim
MYnYm возьмем объединение двух разбиений Рп и Рт интервала (а, Ь). Пусть
t0 = a ... </<3 =
-~b - объединенное разбиение. Тогда можем написать
п, = 2*(тдпнд)-^(Д-1)].
k- 1
/= 1
где х'к = tfh для всех интервалов [^_lt th), принадлежащих интервалу
[tfh, tf), х\ - tp.\ для всех интервалов \tt_и tt),. принадлежащих
интервалу \t%L\, tfl)). Пользуясь этими форму--лами, находим
MY"Ym= 2 MX{x'k)x^)[w{tk)-w
k. 1= 1
Рассмотрим слагаемое этой суммы, для которого / > k. Для любого такого
слагаемого случайные величины X (хк) X (тД х Х[^(Д) - ^(Д-i)] и ^ (ti) -
^ (U-i) независимы, так как х'к < </._!, xjsбДг_1, tk^tt_!•
Следовательно,
MX (тД ТЩ [W (/*) - Г (tk_Д] [W (*,_,)] =
= MX (x'k) X (тД \W (th) - W (tk_ x)] • M [W (ti) - W (/,.,)] = 0.
Точно так же это математическое ожидание равно нулю при любых I < k.
Таким образом, отличными от нуля в двойной сумме будут только слагаемые,
для которых / = k. Для этих слагаемых Х{хк)Х(х'к) и W (Д) - W ук_х)
независимы, так как хк, х? и, следовательно,
мУпУя= 2 MX{x'k)XiA)-M\w{tk)-~w
к= 1
Q ifl
= 2 MX(xk)X(xl) J v(x)dx. (49)
k 1 tk-1
Если предел этой суммы существует и не зависит от того,, каким образом я,
яг -*¦ 00, то он равен интегралу
Ь
j) Л* |Х- (т) |2 v(t) dx.
190
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Действительно, полагая т - п ->00, получим Q = Nn, tk_l = x'k = - xk -
tpli и (49) примет вид
lim MY"Yn = lim J M|X(#ii)|* 5 v(t)dx = J M | X (t) |2 v(t)dx.
n-*- 00
И наоборот, если этот интеграл существует, то предел суммы (49)
существует и не зависит от того, каким образом п, /п -оо.
Таким образом, для существования интеграла Ит (48) необходимо и
достаточно существование интеграла (49), который согласно лемме п. 2.4.2
равен дисперсии интеграла (48):
ь
Dy = ^ М | X (т) |2v (т) dx. (b(J)
а
Что же касается математического ожидания интеграла (48), то оно,
очевидно, равно нулю в силу того, что MYп = 0 при любом п.
Доказав эту теорему для конечного интервала (а, Ь) и непрерывной функции
v(/), можно распространить ее на бесконечные интервалы (-оо, Ь), (а, оо),
(-оо, оо) обычным для определения несобственных интегралов путем.
Пример 16. Найти дисперсию стохастического интеграла
Т
X(x)dW(x),
о
где X (t)-случайная функция с математическим ожиданием mx(t) - ct и
ковариационной функцией Kx{ti, + I, a W {t) - стан-
дартный винеровский процесс.
По формуле (50), учитывая, что v(T)=l и
М | Л (0 |* = | пгх (0 |2 + DX (t) = Л2 + Ое-"-К
^находим
т т
Dy = c2 + e2llxdT = c2T3/3 + D(en'T- lV2p.
о •
На основании леммы п. 2.4.2 ковариация двух интегралов Ито ь ь
Y= ^X1{x)dW{x), Z=\X2{x)dW {%)
а а
-определяется формулой
ь
kyz = ^ MXi (т) Х2 (т) v (т) dx. (51)
§ 3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 19)
Точно так же ковариация интегралов Ито ь ъ
Y=\xi(x)dWp(x), Z=\X.2 (x)dWg(x),
где p(t) и Wq(t) - компоненты векторного процесса W (t) с независимыми
приращениями, определяется формулой
ь
kyz= ^ MX1(x)X2(x)ypg(x)dx, (52)
а
где vp (^ - соответствующий элемент матрицы v(t).
3.4.7. Векторный интеграл Ито. Определение стохастического интеграла
Ито (48) распространяется на случай л-мерного векторного процесса с
независимыми приращениями W (t) и матричной случайной функции X(t)
размера тхп. Необходимым и достаточным условием существования интеграла
Ито является в этом случае существование всех скалярных стохастических
интегралов, входящих в выражения компонент векторного интеграла (48). В
этом случае согласно (50) и (52) элементы ковариационной матрицы
интеграла Y определяются формулой
_ п (r) ______
