Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
На основании (37) любая линейная комбинация независимых общих
пуассоновских процессов определяется формулой
N N
2 ckPk(t)= ) 2 ckxPk(t, dx).
k=l
Это дает основание принять за общую форму процесса с независимыми
приращениями X (t) выражение
X (() = W7 (()-f ^х), (42)
Rq
где W (t) - винеровский процесс, Р (t, А)-пуассоновский процесс как
функция t и пуассоновская стохастическая мера как функция множества А, а
с(х)- векторная функция, отображающая Ri в пространство значений процесса
X (t) при каждом t.
Совершенно так же, как была получена формула (39), выводится формула для
одномерной характеристической функции g 1 (7; t) процесса X(t),
определяемого формулой (42):
in gx (к-, t) = - Y^Tk(t)l+ j 1]ц (t, x)dx, (43)
Rq
где p((, x) определяется формулой
$ц(С x)dx = MP(t, A). (44)
A
Из формул (42) и (44), имея в виду, что математическое ожидание
винеровского процесса равно нулю (п. 3.4.3), получаем
MX(t)= ^с(х)ц(С x)dx. (45)
Rq
При этом характеристическая функция ??(Я; i) центрированного процесса
Х°(0 = Х(0 - MX(t) = W(t)+ S c(x)P°(t, dx) (46)
Rq
определится формулой Ing5(X; t)~ - 2^Т?(()Я + [е<ятс (л)-j - йтс(л:)]р(С
x)dx*).
Rq
(47)
*) Формулы (43), (45) и (47), конечно, преобразуются к (39) - (41)
заменой переменных у = с(х). Однако в приложениях это нецелесообразно.
§ 3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 187
Приращение процесса с независимыми приращениями на любом интервале
обладает тем свойством, что его можно представить в виде суммы любого
числа независимых случайных величин. Для этого достаточно разбить данный
интервал на соответствующее число частей и представить приращение
процесса на этом интервале в виде суммы его приращений на выбранных
частных интервалах. Это значит, что распределение приращения процесса с
независимыми приращениями должно быть безгранично делимым [14]. Из теории
безгранично делимых распределений известно, что всякое безгранично
делимое распределение можно представить в виде композиции нормального и
пуассоновских распределений, точнее, логарифм характеристической функции
безгранично делимого распределения можно представить в виде суммы
логарифма характеристической функции нормального распределения и
интегралов вида (39) и (41). Однако в общем случае математическое
ожидание процесса X (t) может не существовать. При этом интеграл в (40)
или (45) может расходиться как из-за слишком быстрого роста функции р (t,
х) при х -"¦ 0, так и из-за слишком медленного убывания ее при х -* оо.
Однако во всех случаях интеграл
Г | х |2ц (t, х) dx
J Г+|Тр '
распространенный на все пространство RQ с выколотым началом координат,
сходится. Поэтому, если разбить пространство R4 на две области 0<|х|<1 и
|*| > 1, то в формуле (39) будет сходящимся интеграл по области |*| > 1,
а в формуле (41) - интеграл по области 0<|х|<1. Поэтому любой с. к.
непрерывный процесс с независимыми приращениями X(t) в общем случае может
быть представлен формулой
X(t) = W(t)-f- ^ *Р" (/, dx)jj хР (/, dx),
О < | х | < 1 1 х Г> 1
где W (t) - процесс с непрерывными реализациями с нормально
распределенными приращениями, Р (t, А) - пуассоновский процесс по t и
пуассо-новская стохастическая мера по А с независимыми значениями на
непересекающихся множествах, P°(t, A) = P(t, А)-MP(t, А) - центрированная
пуассоновская мера. Соответственно, одномерная характеристическая функция
процесса с независимыми приращениями в общем случае выражается формулой
lngi!(A.; t) = \n ga(k)Xi'/Aт (/)¦-,Tk(i)% +
+ {еи- х- 1 - "Vx) р (/, *) dx + Ц {е'1 х-1 )р(/, x)dx,
О < | х | < 1 |*|>1
где g0(k)- произвольная характеристическая функция, не зависящая от t.
Пример 15. Для процесса Коши (пример 13), пользуясь формулами 00
1 f cos А,* - 1 , ...
7Г J - d* = ~IH
- 00
Ps inXx-kX'dx^Qt j В-Ц^дх = 0,
-l HI>1
получаем
In ft (Л; /) = -о/|Л|=|-j (e^-l )?\
-1 IX1> 1
188 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Следовательно, процесс Коши представим в виде
1
X(t)= (j хРО (t, dx) -f ^ xP (t, dx),
-1 I a: I > 1
h p,(C x)=at/nx2.
Примечание. Мы изложили некоторые результаты теории процессов с
независимыми приращениями, предполагая для простоты, что математическое
ожидание пуассоновской меры Р (t, Л) представимо интегралом (44) с
функцией р (t, х), возможно, содержащей линейную комбинацию б-функций
переменной х. Однако в теории процессов с независимыми приращениями
обычно рассматривают более общий случай, когда mP(t, Л) = = MP(t, А)
непредставимо интегралом (44). В этом случае римановы интегралы по х во
всех предыдущих формулах заменяются интегралами Лебега по мере mP(t, Л).
3.4.6. Интеграл Ито. Пусть W (/) - действительный скалярный случайный
процесс с независимыми приращениями с нулевым математическим ожиданием и
ковариационной функцией
min (ti, tz)
Kw(ti> t2) = k(t0)+ ^ v(x)dx,
где v(^) - непрерывная неотрицательная функция, X (t) - с. к. непрерывная
скалярная случайная функция с конечным моментом второго порядка, такая,
