Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
P(t, В) порождаются разными точками разрыва P(t)). А так как простой
пуассоновский процесс имеет конечный момент второго порядка, то P(t, А) и
P(t, В) не коррелированы для любых непересекающихся A,Bc:R4. Наконец,
ясно, что для любого множества А, представимого в виде конечного или
счетного объединения попарно непересекающихся множеств, А = (J Ак, AkAh =
0 при кфк,
P(t, А)= 2 P(t, Ак),
k= I
т. е. Р (t, А) cr-аддитивна как функция множества А при любом t. Таким
образом, при любом фиксированном t Р (t, А) представляет собой
стохастическую меру (п. 3.2.1) с независимыми значениями на
непересекающихся множествах.
Так как распределение меры P(t, А) при любых фиксированных t vl А
представляет собой распределение Пуассона, то стохастическая мера Р (t,
А) обычно называется пуассоновской мерой.
> Рассмотрим теперь последовательность разбиений пространства R-i,
R*=2,AP (л = 1,2,...),
А=1
такую, что
A" = sup sup \х'-х\~^0 при п.-* оо.
* х, х' €
В каждой области АЧ? возьмем произвольно точку Щ,п). Считая все скачки
процесса Р (t), попадающие в область Aj?\ равными Щ,П), Можно приближенно
представить исходный процесс Р (t) в виде суммы
CD
р (0 ~ 2 р it, ad. (36)
k=l
Действительно, (t, А*л)) представляет собой g-мерный общий
Пуассоновский процесс, все скачки которого равны ?j(m. Сумма
184 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
всех таких процессов представляет собой общий пуассоновский процесс, все
скачки которого равны одной из величин (k =
= 1,2, ...). Вероятность каждого конкретного скачка при условии, что
скачок произошел в данный момент t, равна
р)?' = Рт= ) f(x)dx (fe=l, 2, ...).
л(tm)
Таким образом, сумма в правой части формулы (36) есть общий пуассоновский
процесс со скачками, представляющими собой независимые дискретные
случайные векторы с возможными значениями ?jj,n) и вероятностями этих
значений pf> (т. е. с дискретизированным распределением, определяемым
плотностью / (х)). Ясно, что чем меньше Д", тем точнее формула (36)
представляет процесс Р (t). В пределе (среднем квадратическом) при Д" ->•
О это равенство будет точным. При этом правая часть его согласно
определению (20) будет представлять собой стохастический интеграл по
пуассоновской мере P(t, А) (при каждом фиксированном t):
P(t) = J xP(t, dx). < (37)
R4
Формула (37) дает интегральное представление общего пуассоновского
процесса, т. е. его разложение на независимые элементарные пуассоновские
процессы, каждый из которых имеет скачки вполне определенной величины.
Так как нулевые скачки не являются скачками, то ни одна из областей Л'йп)
в предыдущих рассуждениях не может содержать начало координат. Поэтому
интеграл в (37), а также интегралы в формулах (38)-(43), (45)-(47)
распространены на пространство Rq с выколотым началом координат.
Выведем соответствующее интегральное представление для
одномерной характеристической функции gi(V, t) процесса Р (t).
> Для этого заметим, что характеристическая функция
gA(n> (Я; t) процесса Щ,тД(/, Л),'") определяется формулой (ТВ,
п. 4.5.1; см. также пример 11 этой главы)
In gAim(k t) = (ел l*m - l) 5 Vp (т, A(km)dx. к 0
Подставив сюда выражение vp (т, АЦ,п>) из (35), получим In gAm (к t) = (-
1) ^ / (х) dx ^ v0 (т) dx.
k Af> 0
При Д" ->- 0 интеграл по х в этой формуле в случае непрерывной плотности
f(x) можно заменить соответствующим элементом веро-
$ 3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 185
ятности / (?*") Ал*", где Ах*"'-бесконечно малый объем (длина при <7=1,
площадь при <7 = 2) области (ТВ, п. 2.2.3). Тогда получим
In gAi.rn (Я,; i) = (elA 11) f (&") Ax?l> J v0 (x) dx. k о
Теперь вспомним, что характеристическая функция суммы независимых величин
равна произведению характеристических функций слагаемых (ТВ, п. 4.5.1).
Следовательно, одномерная характеристическая функция (Я; t) процесса Р
(t) может быть приближенно представлена формулой
00 / \ ^
In g1 (X; /)=2 1*П) -1 ) / (?П д4"' $ vo (4 dx.
к=1 о
Переходя к пределу при п -> оо, получаем точное равенство
t
lng^A,; /)= J (еаТ*-1) f(x)dx<\lv0(x)dx. М (38)
я? о
Ясно, что формула (38) по существу совпадает с формулой, полученной в
примере 12.
Заметим теперь, что для любой бесконечно малой области Ах величина
t t
р (t, x)Ax = f (х) Ах ^ v0 (х) dx = J vp (х, Ах) dx о о
на основании (35) представляет собой с точностью до бесконечно малых
высших порядков математическое ожидание пуассоновского процесса Р (t,
Ах). Поэтому формулу (38) можно переписать в виде
In gi (X; i)= ^ (e'^T*- l) p(7, x) dx. (39)
Rq
Формула (37) дает при этом следующее выражение для математического
ожидания процесса Р (t):
MP(t)= ^ хр (t, x)dx. (40)
Rq
Из (39) и (40) вытекает интегральное представление одномерной
характеристической функции g\ (X; t) центрированного общего
пуассоновского процесса P°(t) - P(t)- MP(t):
In gl(X\ t) = \ng1(X; t) - iXTMP (t) =
= jj (ei}?x - 1-tVx)p(/, x) dx. (41)
Rq
]>ь ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
3.4.5. Общая форма процесса с независимыми приращениями.
