Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
приращениями, называется белым шумом в строгом смысле.
Как показывают примеры п. 2.2.5, белый шум может быть обычной случайной
функцией, значение которой при каждом значении аргумента представляет
собой случайную величину, а может быть
$3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 181
и обобщенной случайной функцией, реализации которой не имеют
определенного значения ни при каком значении аргумента. Однако обычными
случайными функциями могут быть только белые шумы, полученные
дифференцированием процессов с некоррелированными, но зависимыми
приращениями (белый шум примера 2.10 и производная процесса Х(() примера
14). Белые шумы в строгом смысле всегда являются обобщенными случайными
функциями (примеры 6 и 7).
3.4.3. Винеровские процессы. Скалярный или векторный действительный
случайный процесс с независимыми приращениями W (t), t > 0, называется
винеровским процессом, если он удовлетворяет условиям:
1) все реализации w(t) процесса W (t) непрерывны и w (0) = 0;
2) одномерное распределение процесса W (t) нормально;
3) математическое ожидание процесса W (i) тождественно равно нулю, а его
ковариационная функция определяется формулой
rain (/" t2)
Kw(t" У= S v (т) dx,
где v (() - неотрицательная функция - интенсивность винеровского процесса
W (t) *).
Непосредственно из этого определения следует, что любой винеровский
процесс представляет собой нормально распределенную случайную функцию.
> Действительно, из определения следует, что одномерная
характеристическая функция винеровского процесса определяется формулой
(ТВ, пример 4.32)
gi(k t) = exp\--^Xrk(t)k
где
t
k(t)=\v (т) dx. о
Подставив это выражение в (34), после довольно громоздких, но несложных
выкладок находим все конечномерные характеристические функции
винеровского процесса
gn (^1> • • • I ^пI ^1* • • • > tfi)
^
= ехр{ - 4-[Л?Л?...А?]
"*(<!) 6 (Б) • • мдп ^1
k {h) k (/,). • k (/,) 1^2
(Б) k (t2) . • k (/") J _ -
*) См. сноску на стр. 150.
182
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Эта формула показывает, что все конечномерные распределения винеровского
процесса нормальны. ^
Очевидно, что стандартный винеровский процесс примеров 1 и 10
представляет собой скалярный винеровский процесс единичной интенсивности
v(/)sl,
Белый шум, представляющий собой производную винеровского процесса,
называется нормально распределенным белым шумом. Это определение
распространяет нормальное распределение на белые шумы, представляющие
собой обобщенные случайные функции. Непосредственное определение
нормально распределенного случайного процесса, данное в п. 2.2.8,
очевидно, неприменимо к белым шумам.
3.4.4. Интегральное представление общего пуассоновского процесса.
Достаточно общей для приложений формой случайного процесса с независимыми
приращениями является линейная комбинация независимых винеровского и
общих пуассоновских процессов .
Рассмотрим общий пуассоновский процесс Р (t), скачки которого
представляют собой независимые случайные ^-мерные векторы с плотностью
f(x). Выделим из потока скачков процесса Р (t) поток скачков,
принадлежащих множеству А ^-мерного пространства R4 (иными словами, будем
считать те скачки процесса Р (0, которые попадают в область А). Докажем,
что этот поток скачков процесса Р (t) представляет собой пуассоновский
поток интенсивности
Vp (t, А) = v0 (t) 5 f{x) dx. (35)
A
> Во-первых, вероятность появления скачка, принадлежащего множеству А, в
интервале времени (t, t-\-At) равна произведению вероятности того, что в
этом интервале произойдет скачок, v0 (t) At-)- о (А/), и вероятности
того, что этот скачок попадет
в область A, J f(x)ax, т. е.
л
МО S f(x)dx + o{At),
А
где v0 (t) - интенсивность скачков процесса Р (t). Множитель при At здесь
представляет собой интенсивность скачков, принадлежащих множеству А. Во-
вторых, вероятность появления больше одного скачка в интервале времени
(t, t+ At) есть величина высшего порядка малости о (АО- В-третьих, в силу
независимости скачков процесса Р (t) и в силу того, что Р (t) -
пуассоновский процесс, числа скачков процесса P(t), принадлежащих
множеству Л, в непересекающихся интервалах времени представляют собой
независимые случайные величины. Из этих трех фактов и следует, что поток
скачков процесса P(t), попадающих на множество А,-
$ 3.4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 183
пуассоновский с интенсивностью, определяемой формулой (35) (ТВ, § 1.9). <
Обозначим через P(t, А) простой пуассоновский процесс, представляющий
собой число скачков процесса Р (t) в интервале [0, t), попадающих на
множество А. Посмотрим, что представляет собой P(t, А) при фиксированном
t.
> Прежде всего очевидно, что при любом фиксированном t P(t,A)
представляет собой случайную функцию множества А, равную 0 на пустом
множестве, Р (t, 0) =0. Далее ясно, что для любых пересекающихся множеств
А и В P(t, А) и P(t, В) представляют собой независимые случайные величины
в силу независимости скачков исходного процесса Р (t) (процессы P(t, А) и
