Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
конечномерные распределения процесса X (t) трудно. Однако легко находится
распределение приращения процесса X (t) на бесконечно малом интервале
времени (t, s]. Для этого достаточно заметить, что при бесконечно малом s
- t вероятность того, что число скачков в интервале (t, s] будет больше
1, имеет порядок о (s-t). Тогда, имея в виду, что при отсутствии скачков
в интервале (t, s] условная характеристическая функция приращения равна
единице, а при одном скачке равна характеристической функции g (A,; t)
величины скачка, будем иметь
g(k; t, s) = l-e_v"(0(s-° + g(X; t) v" (t) (s - t) + o (s - t) =
= i + [g(k; 0 - 1]vo(/)(s-0 + o(s-t).
Таким образом, характеристическая функция приращения на бесконечно малом
интервале времени (t, s] общего пуассоновского процесса с переменным
распределением скачков определяется формулой
g(k; t, s) = l+[g(A; 0 - 1] v0 (0 (s - t) + o (s - t).
Найдем еще совместную характеристическую функцию приращений общего
пуассоновского процесса X (t) и порождающего его простого пуассоновского
процесса на бесконечно малом интервале времени (i, s]. Согласно
определению имеем
g(k 1, Х.2; t, s) = A4exp -f iA,2A^} =
_ e~v"(0 (s-0_j_ elKg v" (t) (s - t)-\-o (s - t) =
= 1 + [e^g (А.Ц t) - l] v0 (t) (s -0 + o (s - t).
gP(t)=m (k t) = M exp
§ 3.4. СТОХ ЛСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 179,
Таким образом, совместная характеристическая функция приращений на
бесконечно малом интервале (t, s] общего пуассоновского процесса с
переменным распределением скачков и порождающего его простого
пуассоновского процесса определяется формулой
g(Xlt Х2\ t, s) = l + [e'X2g(X1; t) - l] v" (t) (s- f)-fo (s- t).
Во всех приведенных примерах процесс с некоррелированными приращениями
является в то же время и процессом с независимыми приращениями. Следующие
примеры показывают, что процесс с независимыми приращениями может не быть
процессом с некоррелированными приращениями, а процессе
некоррелированными приращениями Может не быть процессом с независимыми
приращениями.
Пример 13. Распределение Коши может служить одномерным распределением
процесса с независимыми приращениями, так как характеристическая функция
gi (X; распределения Коши с плотностью
f t • м at
я (a2t2-\-x2)
удовлетворяет условию (33):
t t
gi (*¦; ti)
Однако такой процесс с одномерным распределением Коши не имеет ни
математического ожидания, ни момента второго порядка и, следовательно, не
может быть процессом с некоррелированными приращениями.
Пример 14. Примером процесса с некоррелированными, но с зависимыми
приращениями может служить случайный процесс
X = s\n At+(^U~Z^ (1 -cos At),
где Z, U, Л - независимые случайные величины, причем Z и U распределены
нормально, имеют нулевые математические ожидания и одинаковую дисперсию
?>, а А распределена по закону Коши с плотностью
Для доказательства того, что процесс X (t) является процессом с
некоррелированными приращениями, найдем его ковариационную функцию. Для
этого сначала вычислим условную ковариационную функцию процесса X (t) при
А = Х:
Kx(ti, t2\X)=,D^^ll-'rcosX (ti -t2) - cosX/j - cos №,].
После этого по формуле полного математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3)
находим ковариационную функцию процесса X (/):
СО
кх (tl, t2) = 5 Кх (tl, h i a.) /1 ft) dX =
0
--^1 j L-C°^dx+j '-"gJhdx-] .
L 0 0 0
180
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Пользуясь формулой
о
получаем
Kx(t 1, ^2) =2Dcc min (^i, t%).
Отсюда видно, что X (0 представляет собой процесс с некоррелированными
приращениями.
Интуитивно ясно, что X (^) не является процессом с независимыми
приращениями. Чтобы доказать это, найдем совместное распределение
случайных величин
X = X{t)=(^~Z+U j sinAi+(^t/ -Z : (1-cos AO,
Y - X (s) - X (t) = Z + U j (sin As -sin AO 4* у U - Z j (cos A^ - cos
As).
Уравнения
x = z + и J sin Xt -f- (^-2- и - z , (1 - cos kt),
(sin As-sin Ai)-|-^-^- u - zj (cos kt-cos ks)
имеют однозначное решение относительно г и и при к Ф 0. Пользуясь
известной формулой для плотности функции случайных величин для этого
случая (ТВ, формула (5.34)), находим совместную плотность величин X и Y:
00
^Х' у) = 2j^D J ехР{-^2{П-cos^(s -01JC2 +
- QO
+ [1 - cos Я (s-t) + cos ks - cos kt] *</+(! -cos kt) y2}x Xfl-1 (a2-|-
A2)_1 [Sin к (s-t)-sin As + sin A/]~2}x
_______________A2 dk______________
* (oc2+A2)2 | sin к (s-t) -sin ks + sin kt \
Отсюда видно, что совместная плотность величин X и Y не может быть
представлена в виде произведения их плотностей. Следовательно, X и У
зависимы, что и доказывает наше утверждение.
3.4.2. Белый шум в строгом смысле. В п. 3.1.6 было показано, что
любой процесс с некоррелированными приращениями с дифференцируемой
ковариационной функцией имеет слабую с. к. производную, представляющую
собой белый шум. В частности, любой процесс с независимыми приращениями,
обладающий дифференцируемой ковариационной функцией, имеет слабую с. к.
производную, которая представляет собой белый шум.
Белый шум, полученный дифференцированием процесса с независимыми
