Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
176
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Но
Afexp {t(Aj + . . . +*iD*(M} = gi(xi+ • • • +^п; ^i).
М exp {i (A* + ... + X") [X (tp) - X (tp_j)} = . . . + An; tp_1, tp)
(/7 = 2, n).
Подставив эти выражения в предыдущее равенство, находим
ёп (^1! ' ' • > ^Л> ^1" • ' • ! ^п) =
= g"l (^1 i- • • • ¦+' Х"\ ^l) ё (^2 + • • • + ^п> ^1> ' ' ' ё (^Л> ^*-
l> 'л)
(я = 2, 3, ...).
Наконец, подставив сюда выражение g'(A/J + • • • + An; tp^lt 1 р) из
(33), получаем
ёЛ (^1> • ¦ • • П. ' ^1> ' " ' > ^л) '
gl (^i4~ • • • Ч~АП1 О Si (А-2 ~г • • ¦ А"; ^г) ¦ • ¦ gl (Api tn)
Si (A2 + • ¦ - + An; С) 8i (As + • ¦ • л- A"; ti) ¦¦¦ Si (An! tn-i) (n =
2,3, (34)
Итак, мы доказали, что все конечномерные распределения процесса с
независимыми приращениями однозначно определяются его одномерным
распределением.
Таким образом, процессы с независимыми приращениями относятся к классу
случайных функций, все конечномерные распределения которых полностью
определяются одним из них. Однако, в отличие от случайных функций с
независимыми значениями и марковских процессов, для которых любое
одномерное или, соответственно, двумерное распределение однозначно
определяет все конечномерные распределения, для процессов с независимыми
приращениями одномерное распределение не может быть произвольно задано.
Формула (33) показывает, что характеристическая функция g1 (А,; /) может
быть одномерной характеристической функцией процесса с независимыми
приращениями только в том случае, когда при любых t < s отношение g1 A;
s)/g1 (A; t) тоже является характеристической функцией, т. е. непрерывной
неотрицательно определенной функцией, равной 1 при А = 0 {ТВ, п. 4.5.1).
Если процесс с независимыми приращениями X (t) имеет конечный момент
второго порядка, то он является процессом с некоррелированными
приращениями {ТВ, п. 4.2.4). Следовательно, ковариационная функция
процесса X {t) с независимыми приращениями определяется формулой (1):
Kx{tu t2) = &(min (tu t2)),
гдek{t)-неубывающая неотрицательная функция, представляющая собой
ковариационную матрицу (дисперсию в случае скалярного процесса X {t))
значения процесса X{t) при данном t. Мы будем в дальнейшем считать, что
функция k{t) непрерывна п тифферен-
$3.4 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 177'
цируема, вследствие чего ковариационная функция процесса X (t).
определяется формулой, обобщающей формулу (2):
min {tlt ts)
Kx(ti, h) = k(t0)+ 5 v(x)dx.
Нетрудно понять, что любой процесс с независимыми приращениями
представляет собой марковский случайный процесс. Доказательство этого
здесь не приводится.
Пример 10. Одномерная характеристическая функция стандартного
винеровского процесса примера 1 определяется формулой (X; =
(ТВ, пример 4.28). Формула (34) в этом случае дает
gnQ*ъ •••> t\, ••¦> tn) -
exp |- t1 (Xi+ ¦ • • +^n)2/2- t2 (A.2+ ... -f-X")2/2- ¦ • ¦ -
exp |- t1 (X2+ • • • +^n)2/2 - ti (Я3+ .
= exp
¦ ~2 [^1^2- • -^n]
~tl tl . ) >> 1
tl /2 ^2 X-2
Jl /2 • tn_ Лп.
Эта формула показывает, что стандартный винеровский процесс является
нормально распределенной случайной функцией с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной функцией min (tlt t2).
Пример 11. Пуассоновский процесс примера 2 Р (/) имеет одномерную
характеристическую функцию (ТВ, пример 4.26)
( t
gi(U 0 = ехР
с )
J (е(X- j) I v (т) dr [¦.
I 0 )
По формуле (34) находим все конечномерные распределения пуассоновского
процесса:
( и
gn(h 1 h, ..., t") = exр Ь1(Ч + ...+А") J V(T)^T_|_
V 0
fs tn tn 'у
gi (?.а+ • • • + >-п) ^ v (т) + ... ф-еЛп ^ v (т) dr- ^ v (т) dr ^
ti tn~i 0 J
(п - 2, 3, ...).
Пример 12. Чтобы найти одномерную характеристическую функцию общего
пуассоновского процесса X (t) примера 3,
Pit)
*(о= 2 хк,
k= 1
где {Xfc}-последовательность независимых одинаково распределенных скачков
Хг, Х2, ... процесса X (t), а Р (t) - простой пуассоновский процесс
интенсивности v0 (t), обозначим через g(X) характеристическую функцию
скачков Х1г Х2, ... Тогда, учитывая, что характеристическая функция суммы
независимых величин равна произведению характеристических функций
слагаемых (ТВ, п. 4.5.1), находим условную характеристическую.
178 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
функцию процесса X (t) при P(t) = m:
т 'i
Ь= 1 J
После этого по формуле полного математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3)
находим
00
gi (A,; t) = grn (A,) -t-. е~ ; ^ t^) -
m = 0
где
t
^ vo СО
t,
Определив одномерную характеристическую функцию общего пуассоновского
процесса X (t), находим по формуле (34) все его конечномерные
характеристические функции
(
К; 1 ...............г") = ехр jg(Xi + . . . + An) ^ v0(t) а'т +
I о
^8 tn tn ^
+ g(^2 + + кп) J v"(T) dr + ... + g(kn) \ v0 (x) dx- v0 (t) dx |
11 tn - l 0 J
(n = 2, 3, ...).
Иногда приходится рассматривать общий пуассоновский процесс X (t),
распределение независимых скачкообразных изменений которого зависит от
моментов времени, в которые эти изменения происходят. В этом случае найти
