Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
определяется формулой
t
k(t) = Tx(t)-mx(t) mx(ty = K0\i = K0 J v0 (x) dx.
h
Таким образом, процесс X (t) имеет конечный момент второго порядка и,
следовательно, является процессом с некоррелированными приращениями.
Ковариационная функция общего пуассоновского процесса определяется
формулой (2) при интенсивности v (t) = K0v0(t).
3.1.2. Стохастический интеграл. Пусть <р (() - непрерывная скалярная
функция скалярной переменной t, X (() - скалярный процесс с
некоррелированными приращениями, математическое ожидание и ковариационная
функция которого определяются
152
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
формулами
t t
т (t) = т (t0) + J т' (т) dr, ?(/) = &(/")-f-j) v (т) dx, (3)
^0 to
где m' (t) и v(t) - непрерывные функции. Возьмем последовательность
разбиений {Рп} интервала [а, Ь] точками t(0n) - а < t[n) < ... ... < t{N"
= b такую, что
A" = maх (/pn) - /pA'i)0 при лоо.
р
Образуем последовательность сумм
^ = 2 ф т [х да -х да,)] (п=1,2,...), (4)
р=I
где т{,п) - произвольные точки интервалов [/{(!!ь ^n)], [^-1( ^рп)].
Стохастическим интегралом от функции ф (/) по процессу X (/),
распространенным на интервал (а, Ь), называется с. к. предел
последовательности сумм {Уп}, если он существует:
Nn
Л .т. 2 Ф (О [X (О - * №)]• (5)
п -> ао р - I
> Чтобы установить необходимое и достаточное условие существования
стохастического интеграла (5), применим теорему о с. к. сходимости п.
2.4.2. Согласно этой теореме необходимым и достаточным условием
существования с. к. предела последовательности сумм {У"} является
существование пределов последовательностей математических ожиданий {MYn}
и ковариаций {MY^Y^} при п, т-+ оо (независимо от того, как п, т--> оо).
Из (4) и (3) следует, что
MYn = 2 Ф СО [MX (tf>) - MX да)] =
р-1
2 <1 (О \ т1 (т) dr = 2 ф СОт' (О
p=i tm р=1
lp-i
где с^ -некоторая средняя точка интервала (tfih, /g"), а А/<,л)= =
(/?=1, ..., iVn). В силу непрерывности функции
т' (/) можно с точностью до бесконечно малых высших порядков заменить т'
(agn)) величиной т' (т],л)). Тогда получим
^ с
lim МУ" = Игл 2 Ф (т?))т> (т-р**) A= \ ф (т) т' (т) dr. (6)
п -*¦ Ж П -*¦ <я р = 1 д
у=5 ф (о rfA" (о=1
а
§3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 153
Для вычисления ковариации MY°nY°m рассмотрим объединение разбиений Рп и
Рт интервала (а, Ь). Пусть а= /0 < t1 < ... < tQ=b - полученное в
результате этого объединения разбиение. Тогда можно написать
Y"= 2 Ф(4)[X(th)-x{t2 Ф
h=1 /=1
где тА = т(tm) при [7A_i, //г] с: [^тг, t(tm)}, т;' = т((tm) при [/,_!, //] с:
= №1, С']. и
МУЛ = 2 т (п) фК) м [X- (^А) -(th_0] [х^-х"(*~1)].
h, 1=1
Отсюда, принимая во внимание, что X{th) - X{th_1) и X(te) - - X(Д-О не
коррелированы при 1фк и что
lh
М| Х° (th) - Xй {th_1)\2 - k(th)-k(th_1)= 5 v(T)dT,
^/г - 1
находим
Q (h Q ___
МУЛ = 2 Ф (ч) Ф Ы $ v (т) dx = 2 Ф (ч) Ф (Д) v (<тА) Д/А ,
где oh- некоторая средняя точка интервала th), a Ath =
= th - th_i (A' = 1, . . ., Q). Вследствие непрерывности функций ф(7) и
v(/), учитывая, что |тА - | -^ 0, | oh - тА | 0 при п, т -*¦ оо,
можем с точностью до бесконечно малых высших порядков заменить значения
ср (тА) и v(ah) функций ср(/) и v(/) их значениями <р(тА) и v(x'h). Тогда
получим
МУЛ = 2 I Ф (ч) I2 v (Ч) A th
h=l
И
ь
lim МУЛ=$|ф(т)|*у(т)</т. < (7)
п, т -*¦ со а
Таким образом, для существования стохастического интеграла (5) необходимо
и достаточно существование интегралов (6) и (7). При этом в силу
следствия 3 п. 2.4.2 математическое ожидание и дисперсия стохастического
интеграла (5) определяются формулами
ъ
ти = \ Ф (т) т' (т) dx' (8)
а
b
Dv = S |ф(т)1**М*- (9)
154
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Установив необходимое и достаточное условие существования стохастического
интеграла для ограниченного интервала (а, Ъ) и непрерывных функций ср (/)
и v (/), можем распространить это условие на бесконечные интервалы (-оо,
Ъ), (а, оо), (-оо, оо) и кусочно непрерывные функции f(() и v (i) обычным
путем, как это делается в анализе при определении несобственных
интегралов. Только обычные пределы придется заменить с. к. пределами.
В силу леммы п. 2.4.2 и ее следствия 2 ковариация стохастических
интегралов
b ь
У = 5 сг(т)<Щт), Z= $ф(т)а'Х(т), (10)
а а
если они существуют, определяется формулой
ъ
fe!/*=S(p(T)'KT)v(T)dT- О1)
а
Точно так же ковариация двух стохастических интегралов ъ ъ
У=$ф(т)^(т), Z=\^(T)dXv(x), (12)
а а
где Xp(t) и Xq (t)~ компоненты векторного процесса с некорре. лированными
приращениями и с ковариационной функцией, опре. деляемой второй формулой
(3), выражается формулой
ь
kyz = S ф (Т) 'НО VN<T)rfT' ' (1 3)
а
где v (/)- соответствующий элемент матрицы v(^).
Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию стохастического
интеграла
00
У - Ц е~ах dW (т), о
где W (i) - стандартный винеровский процесс примера 1.
Так как математическое ожидание стандартного винеровского процесса
тождественно равно нулю, а его ковариационная функция равна min (tlt t2)
