Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
приращением на интервале (Д, t) при t > t0 и с его приращением на
интервале [t, t0), взятым с обратным знаком, при t < t0. В дальнейшем
будем рассматривать только такие процессы с некоррелированными
приращениями. Любой процесс с некоррелированными приращениями X (t)
приводится к такому процессу. Действительно, случайный процесс Y (t) - X
(t)-Xto представляет собой процесс с некоррелированными приращениями,
обладающий требуемым свойством У*0 = 0. Пусть X (t) - процесс с
некоррелированными приращениями
П. Н.
и Х<о = 0. Докажем, что значение Xt процесса X (t) в любой момент t не
коррелировано с его будущими приращениями на интервалах, следующих за
моментом i0, и с его прошлыми приращениями на интервалах, предшествующих
моменту t0:
мх°{ (х?;-*?,')=о
при фс: Д < t2, t^to и при Д < t2 t, t2 t0.
> Это следует непосредственно из определения процесса с
П. н.
некоррелированными приращениями и из того факта, что Xf =
П. Н.
- Xt-Xt0 есть приращение процесса X (t) на интервале [Д, t), не
пересекающемся с (Д, Д), при t > и взятое с обратным
148 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
знаком приращение процесса X (t) на интервале \t, t0), не пересекающемся
с [С, t2), при t < С-Введем функцию
( МХ°ХЧ* при t > t0, k{t) = \ 0 при t = t0,
{ -МХЧХГ при t<t0.
Докажем, что ковариационная матрица приращения Xtl-Xtl процесса X (t) на
любом интервале и ковариационная функция процесса X (t) определяются
формулами
М {XI -Xl) (X?;- = k (t2)-k (С),
( k(min(tlt tt)) при tu t2>to,
0 = 1 0 при t1^to<t2 И tlt (1)
[ - k(max(tut2)) при tu t2<t0.
Сначала докажем справедливость второй формулы (1).
> По определению имеем при tn < t1 < t2
Кх {tu ti) = МХ1ХЧ: = мхчхч: + MXI (Х"; - хп = k (О,
так как по доказанной теореме MX°h (X°t* - Х°*) - 0 при t0 < С < t2. При
С < t0 < t2 -Xti и Xu представляют собой приращения процесса X (t) на
непересекающихся интервалах
[tu t0) и [С, t2). При ^ = или t2 = t0 Xti = Xt"= 0 или
Xti = Х1о =' 0. Следовательно, при С О С С
Kx{tu и) = мхчхч: = о
по определению процесса с некоррелированными приращениями или вследствие
равенства нулю почти наверное Xt или Xtа. Наконец, при 11 <t2< t0
кх {tu ti) = мвд; = мвд; - м (*?, -х°и) хг, = -k (О,
так как по доказанной теореме M(X°t, - X°tl)X°t* = 0 при С < t2 < С-При С
> t2 величины tx и 4 во всех предыдущих формулах меняются местами. Этим
завершается доказательство второй формулы (1).
Переходим к доказательству справедливости первой формулы (1). На
основании второй формулы (1)
-*?;)=
= Kx{t2, t2)-Kx{tu t2)-Kx{t2, С) + Л*(С, C) =
= k{t2)-k{t1) - k(ti) + k{ti)-=k{t2)-k{t1) при to < С < t2,
= k(t2) - 0-0 - k(t1) = k{t2) - k{t1) при
= - k{t2) +k{t2) + k{t2)-k{t^ = k{t^)-.k{ti) при С < t2 < -to- -4
$3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 149
Изучим свойства функции k(t). Из определения функции k(t) следует, что
при t > tg она представляет собой ковариационную матрицу (дисперсию в
случае скалярного процесса X (t)) значения процесса X (t) в момент t, а
при t < tg- взятую с обратным знаком ковариационную матрицу (дисперсию)
значения процесса X (t) в момент t. Из первой формулы (1) следует, что
приращение функции k (t) на любом интервале представляет собой
ковариационную матрицу (дисперсию) приращения процесса X (t) на этом
интервале. Из этих фактов следует, что k(t) представляет собой
неубывающую функцию, неотрицательную при t > t", неположительную при t <
t0 и равную нулю при t = tg*).
Докажем теперь, что если ковариационная функция случайного процесса X (t)
определяется второй формулой (1), где k (t) - неубывающая функция,
неотрицательная при t > tg, неположительная при t < t0 и равная нулю при
t = t0, то X(t) представляет собой процесс с некоррелированными
приращениями, значение которого в момент tg равно нулю почти наверное.
> На основании второй формулы (1)
м =
= Kx(t2, tt)-Kx(tl3 Д)-Kx(t2, ta) + Kx(t" t3) = = k (t2) -k (tr) - k (t2)
+ k (tj) = 0 при t0 < ti. < t2 < t3 < tt,
= k(t2) - 0-k(t2) + 0 = 0 при ti <t0<t2s^t3< tit = 0 - 0-0 + 0 = 0 при ti
< t2 ^ t0 t3 < Д,
= 0 - 0 + ^(4)-k (t3) - 0 при t± < t2 +Д3 < t0 < +
Следовательно, приращения процесса X (t) на любых непересекаю-щихся
интервалах не коррелированы. Из того, что Kx(tg, tg) = 0, следует, что
значение ХГа процесса X (t) при t = t0 равно нулю почти наверное. М
Таким образом, для того чтобы случайный процесс X (/) был процессом с
некоррелированными приращениями и его значение при t = t" было равно нулю
почти наверное, необходимо и достаточно, чтобы его ковариационная функция
определялась второй формулой (1), где k(t) - неубывающая функция,
неотрицательная при t > t0, неположительная при / < /0 и равная нулю при
t = tg.
, Из теоремы п. 2.4.3 следует, что случайный процесс с некоррелированными
приращениями с. к. непрерывен тогда и только тогда, когда функция k (/)
непрерывна. Мы будем считать в дальнейшем, что k(t) не только непрерывна,
но и дифференцируема. В этом случае формула (1) может быть написана при
