Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
Т=Ц|Л(tm) (л = 1, 2, ...)
р=1
§3.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 167
.- последовательность разбиений {Рп) области Т, такая, что А" = гпах sup
11' - *|-^0 при п-^оо.
Р f, f'eA">
Тогда совершенно так же, как в п. 3.1.2, определяем последовательность
интегральных сумм {У"},
Nn
уп= Sq'K'OW) (п = 1,2,...),
p=i
где т^' - любая точка области A(/?=1, ..., Ar"; л-1, 2,...), и определяем
стохастический интеграл функции ср (?) по мере Z, распространенный на
область Т,
г ^
У = j Ф (т)Z(dr) = l.i.m. 2 Ф(т"')^ИИ- (20)
^ Я -*¦ CD J9 =: 1
Совершенно так же, как в пп. 3.1.2 и 3.1.3, доказывается, что
стохастический интеграл Y существует тогда и только тогда, когда
существуют интегралы
т - ^ ф (т) т' (т) dx, К = J ф (т) v (т) ср (г)* dr. (21)
т т
Если они существуют, то первый из них равен математическому ожиданию
стохастического интеграла Y, а второй-его ковариационной матрице, т - ту,
К - К,г
Формула (15) для взаимной ковариационной матрицы двух стохастических
интегралов
U = J ф (т) Z (dr) и V = J ф (т) Z (dr) т т
также обобщается на функции векторных переменных
АиР=$ф(т^(т)1|>(т)Мт. (22)
т
Пример 9. В случае стохастической меры примера 8 стохастический интеграл
скалярной функции N-мерного вектора представляет собой кратный интеграл
у= ^ Ф (x)Z(dx)= J • • • J Ф (И. . ¦ - , т-А') dW 1 (ti) ... dW#(x#). т
т
Формулы для математического ожидания и ковариационной матрицы
стохастического интеграла принимают в этом случае вид
ту = 5 • • * 5 ф (т1> ¦ • • > T^v) т\ (И) •. • m'N (Tyv) dti ... dxN,
Т
S ' *' S ^ " XN^2 Vl ^ *' * vn(tn)^! . .. dXN>
т
168 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
где
ь ь
x)dr, ^vr(v)dT (г=1, ..., п)
а а
- математические ожидания и дисперсии приращений Wr (b) - Wr (а)
процессов W1 (t),
Введенный в пп. 3.1.2 и 3.1.3 стохастический интеграл от функции
скалярной переменной представляет собой стохастический интеграл по мере
Z([a, b)) = X(b)-X(a),
порожденной процессом с некоррелированными приращениями X (t).
Стохастические интегралы от функций векторных переменных в приложениях
также принято записывать в виде интегралов, содержащих белый шум:
5 ф(т)Z(dx) = ) ф(г)У(ф<Л. т т
В этом случае белый шум V (t) векторного аргумента определяется как
случайная функция с нулевым математическим ожиданием и ковариационной
функцией
Kv(tu ^) = v(?'1)6(z11 -12),
где б-функция векторного аргумента может быть определена, например, как
произведение б-функций всех компонент этого векторного аргумента.
Легко видеть, что представление стохастического интеграла в виде
интеграла от белого шума дает возможность обращаться со стохастическими
интегралами как с обычными с. к. интегралами. В частности, формулы (2.64)
и (2.70) для математического ожидания и вторых моментов с. к. интегралов
в этом случае совпадают с формулами (21) при g(t, т) = ф (/).
3.2.3. Интегральные канонические представления случайных функций.
Пусть g(t, т) - неслучайная функция двух переменных (скалярных или
векторных), Z (А) - стохастическая мера в пространстве переменной т с
нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией k (Л),
представимой в виде второго интеграла (19). Стохастический интеграл
*°(0 = $?(*. 'OZ(rfT) г
представляет собой случайную функцию переменной t, математическое
ожидание которой равно нулю, что и отмечено знаком центрирования, а
ковариационная функция на основании (22)
$ 3.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 169
при фМ = ?(^1, т), Ф(т) = ?(^2, т) определяется формулой
Kx(tu t2) = \g{tu t)v(t)g{t2, т)*dx. (23)
т
Представление случайной функции X (I) в виде суммы ее математического
ожидания и стохастического интеграла по мере с нулевым математическим
ожиданием,
Х(0 = тж(0 + $г(Л T)Z(dx), (24)
т
называется интегральным каноническим представлением этой случайной
функции. Интегральному каноническому представлению (24) случайной функции
соответствует интегральное каноническое представление (23) ее
ковариационной функции.
Стохастическая мера Z (А) в предыдущих формулах может быть в общем случае
векторной. Соответственно, g (t, т) может сыть в общем случае
прямоугольной (в частном случае квадратной) матрицей.
В соответствии с принятым в приложениях правилом записывать
стохастические интегралы как интегралы от белого шума интегральное
каноническое представление (24) случайной функции в приложениях обычно
записывают в виде
X(t) = mx{t) + $ g{t, r)V(x)dr, (25)
г
где V (t) - белый шум интенсивности v(/). В соответствии с этим
интегральное каноническое представление случайной функции определяют как
представление соответствующей центрированной случайной функции в виде
результата линейного преобразования белого шума.
Проблема нахождения интегрального канонического представления случайной
функции имеет большое значение для приложений.
В некоторых случаях интегральное каноническое представление случайной
функции скалярной переменной удается получить, выразив ее как выходной
