Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
t
t-'-i ______________________ 'j
+ ^ (p (s) [k (t С r) - k (s)] ds p dt.
t + т-a I
Предполагая, что интенсивность v(r) процесса X (t) является непрерывной
функцией, и применив интегральную теорему о среднем значении, можем
написать для любого интервала [a, Р)
fe(P) - fe(a) = v(0) (Р - a), 0g(a, р).
На основании этой формулы предыдущая формула принимает вид
00 / t
MYxYa j ф(0| j ?(s)v(s1)(s + a - t)ds +
-a> O-a
t+x-a t+x .
+ ^ ф(5)у(52)аг/54- ^ ф (s) v(s3) (/ + T - s)ds\ dt,
t t+x-a j
где - a, /), s2C(/, t + x-a), s3C(/ + t-a, t + x). Отсюда,
имея в виду, что все интервалы интегрирования по s являются бесконечно
малыми порядка О (т), что функции v (/) и ф (/)
162
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛ Ы, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
непрерывны, вследствие чего
ф(5) = ф(/)+0(т),
¦v(Si), v(s2), v(s3) = v(0 + o(t),
и что величины s + a--t и tт - s под знаками первого и третьего
интегралов по s положительны, получаем
MYXYC=-^ f Ф (^) [Ф (0 v (0 + о (t)J Г? + ог(т - а) + -?
di
ф(0 [ф(0 V(0 + °(T)] dL
Наконец, в силу того что cp (t) отлична от нуля только на некотором
конечном интервале, можем написать
00
МКтГа= ^ |9(0|2v(0^ + o(t).
- 00
Таким образом, при любых т, о
00
MYxYq= J |ф(01М0^ + °(тах(т, сг)).
- 00
Отсюда видно, что величина MYxYa имеет предел при т, а О,
не зависящий от того, как т, о->- 0. На основании общей теоремы
о с. к. сходимости и следствия 1 п. 2.4.2 существует такая случайная
величина Y, к которой с. к. сходится Yx при т 0 и lim MYxYa = М | Y |2 =
DY. Отсюда и из предыдущей формулы
т, о-* о
следует
00 со со
DY - J )ф (t)\2v(t)dt= 5 5 ф {t) ф(s) v(t) б (t - s)dtds.
- 00 - 00 - CD
Сравнив эту формулу со второй формулой (2.69), приходим к выводу, что
слабая с. к. производная V(t) процесса с некоррелированными приращениями
X (t) имеет ковариационную функцию
Kv(t, s) = v(t)6(t - s),
т. е. является белым шумом интенсивности v(0. Л
Из справедливости доказанной теоремы для скалярного процесса с
некоррелированными приращениями немедленно следует ее справедливость для
любого векторного процесса с некоррелированными приращениями,
интенсивность которого представляет собой непрерывную функцию.
§3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 163
Пример 6. Производная стандартного винеровского процесса примера 1
представляет собой белый шум единичной интенсивности. Этот белый шум
представляет собой частный случай обобщенного случайного процесса,
рассмотренного в примере 2.9, когда k-l/2 и импульсы распределены
нормально.
Пример 7. Производная общего пуассоновского процесса примера 3
представляет собой белый шум (в общем случае векторный) интенсивности
Kav0 (t). Этот белый шум представляет собой пуассоновскую
последовательность б-импульсов, величины которых являются независимыми
случайными величинами. С примером такого белого шума ыы уже встречались в
примере 2.8 (входной сигнал электрической цепи примеров 2.2 и 2.4).
В частном случае простого пуассоновского процесса его производная - белый
шум представляет собой пуассоновскую последовательность мгновенных
единичных импульсов.
3.1.7. Стохастические интегралы как интегралы, содержащие белый шум.
На основании результатов п. 3.1.6 стохастический интеграл (5) можно
формально представить как интеграл, содержащий белый шум:
ъ ъ
J Ф (т) dX (т) = ^ ф (т) V (т) dx.
а а
Эта формула дает точное и вполне строгое определение интеграла,
содержащего белый шум, а именно интеграл, содержащий белый шум,
представляет собой другую форму записи стохастического интеграла.
Положив ф(т) = 1(( -т), a = t0, получим
t
X(t)-X(t0)=^V(x)dx,
to
отсюда находим
t
X(t) = X (t0) + 5 v M dx.
to
Таким образом, любой с. к. непрерывный процесс с некоррелированными
приращениями можно представить в виде интеграла от белого шума той же
интенсивности.
В приложениях всегда записывают стохастические интегралы в виде
интегралов от белого шума. Это очень удобно для приложений, так как
позволяет обращаться со стохастическими интегралами как с обычными с. к.
интегралами. В частности, как было показано в п. 2.4.10, для
ковариационной функции интеграла от белого шума справедлива формула
(2.70).
164
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
§ 3.2. Стохастические интегралы от неслучайных функций векторного
аргумента
3.2.1. Стохастические меры. Чтобы распространить определение
стохастического интеграла на функции векторных переменных, необходимо
ввести понятие стохастической меры.
Аргументом случайной функции согласно п. 2.1.1 может служить переменная
любой природы. В частности, аргументом случайной функции может быть
множество точек любого пространства, принадлежащее некоторому классу
множеств, который представляет собой область определения случайной
функции. Так, например, формула
Z([a, Ь)) = Х(Ь)-Х(а),
где X (t) - случайный процесс, представляет собой случайную функцию
интервала [а, Ь). Областью определения этой случайной функции служит
множество всех полуоткрытых справа интервалов числовой оси. Если X (t) -
