Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
tu t2> t0 в виде
min (it, tt)
Kx(ti, t2) = ^ v(T)dT, (2)
*o
*) В случае векторного процесса X (t) неубывание k (t) и неотрицатель
ность k (t) при t > t0 и -k{t) при t < tg понимаются как неотрицательная
определенность матриц k(t2)-k(_ti), k(t) при t > tg к -k(t) при t < tg.
150
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
где v(/) - неотрицательная функция, называемая интенсивностью процесса с
некоррелированными приращениями X (t) *).
Пример 1. Случайный процесс W (t) с конечномерными плотностями
fi (иг, = exp {-w2/2t},
fn (иц, .. ., wn\ tl, ¦ ¦¦, f") =
= [(2л)" ti (ti - ti) ... (tn - tn_i)]-1'2 exp {-w2i/2ti - (w2-wi)2/2 (/2
-П) - •..
. . . - (wn - wn_i)2!2 (tn - tn-i)} (я = 2, 3, ...)
при ti < t2 < ... < tn и с непрерывными реализациями называется
стандартным винеровским процессом. Очевидно, что этот процесс является
процессом с независимыми приращениями, так как при любых ti < t2 < ... <
tn совместная плотность случайных величин Yi = Wft, Y2~Wt2-Я7/,, ¦ Yn -
~^tn-И7tn-i определяется формулой (ТВ, п, 5.3.1)
Р(Щ. •••. </") = [(2я)п ti(t2 - ti) ... (^n -^"-i)]_1 2 exp {-y\l2ti -
- 1/1/2 (tz-ti)- . ..-yl/2 (tn-tn_i)},
т. e. представляет собой произведение плотностей величин Ylf ..., Yn (ТВ,
п. 4.2.3). Но независимые случайные величины с конечными моментами
второго порядка не коррелированы (ТВ, п. 4.2.4). Следовательно,
стандартный винеровский процесс является процессом с некоррелированными
приращениями. Чтобы найти его ковариационную функцию, рассмотрим его
двумерную плотность при t2 >
f2(wi, w2; tu fj)= (2я Vti(t2 - П))-1ехр {- w\/2ti - (w2 - иц)2/2 (t2 -
^)} = = (2л V ti (t2 - H))""1 exp {- (t2wt~2tiwiw2~\- tiwl)l2ti(t2 - ti)}
¦
Отсюда видно (ТВ, пример 4.1), что Kw(ti, t2) = ti при ti < t2. По
симметрии Kw(ti, t2) = t2 при ti > 12. Таким образом, ковариационная
функция стандартного винеровского процесса определяется формулой
Kw(ti, t-i) - min (ti, t2),
а его интенсивность тождественно равна 1.
Пример 2. Ступенчатый случайный процесс Р (t), скачком возрастающий на
единицу в случайные моменты, образующие пуассоновский поток, называется
пуассоновским процессом. Так как числа скачков пуассоновского процесса в
неперекрывающихся интервалах времени по определению являются независимыми
случайными величинами (ТВ, п. 1.9.1), то пуассоновский процесс является
процессом с независимыми приращениями. Чтобы доказать, что он является и
процессом с некоррелированными приращениями, достаточно показать, что он
имеет конечную дисперсию. Обозначим v (t) в общем случае переменную
интенсивность пуассоновского потока скачков процесса Р (t). Считая, что
P(tQ)= 0, находим математическое ожидание числа скачков процесса Р (t) в
интервале (t0, t) (ТВ, пример 3.2), которое, очевидно, представляет собой
математическое ожидание значения яроцесса Р (t) в момент t:
t
(i = MP (t) = (j v (т) di. to
Но, как известно, дисперсия случайной величины, распределенной по закону
Пуассона, совпадает с ее математическим ожиданием (ТВ, пример 3.2). Сле-
*) В случае векторного процесса неотрицательность v (/) понимается как
неотрицательная определенность матрицы.
§3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 151
довательно, в данном случае
t
DP (0 = к (0 = V (т) dx =¦ р..
*0
Ковариационная функция процесса Р (t) определяется формулой (2) при k(ta)
= 0, а его интенсивность совпадает с интенсивностью потока скачков.
Пример 3. Скалярный или векторный ступенчатый случайный процесс X (t) с
независимыми одинаково распределенными скачками, происходящими в
случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток, называется
общим пуассоновским процессом. Так как суммы независимых случайных
величин, не содержащие одинаковых слагаемых, независимы (ТВ, пример
5.36), то общий пуассоновский процесс представляет собой процесс с
независимыми приращениями. Если скачки имеют конечные математическое
ожидание т0 и ковариационную матрицу (дисперсию в случае скалярного
процесса X (;)) Д0, то он является также процессом с некоррелированными
приращениями. Действительно, считая, что Х(/0) = 0, приходим к выводу,
что условные математическое ожидание и ковариационная матрица процесса X
(t) в момент t при т скачках в интервале времени (t0, t) равны
соответственно тт0 и тК0 и, следовательно, его условный момент второго
порядка равен т (К0-\- т0тЪ). Принимая во внимание, что число скачков в
интервале времени (t0,t) представляет собой случайную величину,
распределенную по закону Пуассона, находим вероятность того, что в
интервале (t0, t) будет т скачков (ТВ, п. 1.9.4)
i
и,т Г*
Ря,==тГе~*' = J vo(T)dT'
t.
где v0 (()-интенсивность потока скачков. После этого по формуле полного
математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3) находим безусловные
математическое ожидание и момент второго порядка процесса X (t) в момент
/:
00
mx(t) = MX (0 = m0 ^ =т0р,
т- 1 оо
Г*(0=(К0+ maml) ^ т е~^ = (К0 + т0то) ft.
т= 1
Следовательно, ковариационная матрица значения процесса в момент t
