Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
считать тривиального случая постоянной функции ф(/). М
Несмотря на неприменимость теоремы о среднем к стохастическим интегралам,
вопрос о приближенном вычислении стохастического интеграла требует
определенного ответа. Поэтому поставим задачу: найти такое число ф" чтобы
дисперсия ошибки
ь
?/=$Ф(т)^Х(т)-ф,[Х(&)-Х(а)1
а
была минимальной.
> Предположим, что дисперсия ошибки U минимальна при Ф" = ф?. Тогда для
любого ф* можем написать
ь ъ
Du=l |фМ -Ф. |2 v(x)dx = 5 Iф (х) - ф2 + ф2 - Ф.|а V (х) rfx =
а а
b Ь
= S |ф(т) -Ф° I2 V (х) rfc Д- I ф(r) - фД2 $ v{x)dx +
а а
Ь Ъ
+(ф0.-Ф*) $ [ф W-1ф"] ^ (т) dx -f- (ф(r) 'ф*) \ [ф (х) - ф!] v(x)dx.
а а
Отсюда видно, что минимум Da достигается при ф* = ф(r), если выбрать ф(r) из
условия
ъ
$ [ф(т) -ф(r)] v(t)c(t = 0.
§3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ]5§>
Действительно, при таком ф? дисперсия ошибки при любом ср* будет равна
ь ь
Da = 5 |ф(т) -ф,°|2 v(T)dt + |ф° - ф* I2 5 v(x)dx.
а а
Второе слагаемое равно нулю только при ф* = ф?. При любом-другом значении
ф" это слагаемое положительно.
Если функция ф (/) непрерывна на интервале [а, Ь], то, переписав условие,
определяющее ф?, в виде ь ъ
^ Ф (т) v (т) dx = фЦ! ^ v (т) dx,
а а
убеждаемся в том, что на основании теоремы о среднем ф2=ф(/"), где -
некоторая точка интервала \а, Щ. М
Таким образом, мы доказали теорему: если функция ф(/) непрерывна на
интервале \а, Щ, то существует такое /* ? [а, Щ, что дисперсия разности ь
U = ^ ф (т) dX (т) - ф* [X (b) - X (а)]
а
минимальна при ф* = ф (/").
Этот аналог интегральной теоремы о среднем значении может служить
основанием для распространения методов численного интегрирования на
стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения (п.
3.6.6).
3.1.6. Белый шум как производная процесса с некоррелированными
приращениями. Процесс с некоррелированными приращениями не может быть с.
к. дифференцируемым в обычном смысле. Действительно, пусть X(t) - процесс
с некоррелированными приращениями с нулевым математическим ожиданием и
ковариационной функцией, определяемой формулой (2). Рассмотрим сначала
ковариационную функцию Kx(t1, t2) как функцию t2 при фиксированном tv Из
формулы (2) ясно, что
( ?
| \v(x)dx при t2<tu Кх (^i, t2) = \
J v (т) dx при t2 > t±.
к ta
Дифференцируя эту формулу по t2, находим
dKx(tut2) |у(Д) при t2<tlt
dt2. ( 0 при 12 >
160
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Таким образом, производная dKx(ti, t2)/dt2 терпит разрыв со скачком -
v(/x) при t2 = t1. Вводя единичную ступенчатую функцию, перепишем
предыдущую формулу в виде
Дифференцируя эту формулу по tx, находим
д2'ЪТ^1 4 = v (4) б{к-12) = v(/0 б (*,-*,).
Таким образом, \d2Kx{tlt t.2)/dt1 dt2\tz^t1 = оо и условие существования
с. к. производной не выполнено. Следовательно, процесс с
некоррелированными приращениями не имеет с. к. производной. Но полученное
выражение d2Kx(tl, t2)/dt1dt2 представляет собой ковариационную функцию
белого шума. Поэтому целесообразно считать, что процесс с
некоррелированными приращениями имеет производную, представляющую собой
белый шум. Для обоснования этого достаточно доказать, что любой процесс с
некоррелированными приращениями имеет слабую с. к. производную,
представляющую собой белый шум интенсивности v(t).
> Пусть X(t)-скалярный процесс с некоррелированными приращениями, с
нулевым математическим ожиданием,
t
k (/)! = § v (т) dx
to
--функция, определяющая ковариационную функцию процесса X (}). Определим
случайную функцию
V,t(0 = [X(/ + T)-X(0]/T.
Докажем, что эта случайная функция имеет слабый с. к. предел при т -0,
представляющий собой белый шум V (t) интенсивности v(t). Для этого введем
случайные величины
00
Yx= \ y(t)VX'(t)dt.
- СР
Согласно общей теореме о с. к. сходимости (п. 2.4.2) достаточно показать,
что для любой непрерывной функции ср (/), отличной от нуля только на
некотором конечном интервале (п. 2.4.9) величина MYxYg имеет неотрицател
ьный предел при т, о -+¦ 0, не зависящий от того, как т, а 0. По формуле
(2.70)
со со
MYXY\, = ^ $ y{t)<pJs)KVx0a(t, s)dtds,
- СО -со
$3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 161
где KVxVa{t, s) - взаимная ковариационная функция случайных функций VT(/)
и Y0{t), которая определяется формулой
К"х V(f(t,s)=-^M[X(t + x)-X (/)] [X (s + о) -X (s)].
А так как X (t) - процесс с некоррелированными приращениями, то при х > a
( 0 при S < t - о и при S > / -j- т,
К (i ^==J (s4-ст) - ^(г')]/тст при t - a<s<t,
VxV° '' j [&(s + a) - fe(s)]/ta при -a,
1_[/z(/-4t)- fe(s)]/ta при /4-т - ct<s</ + t.
Эти формулы являются следствием того, что при т > а интервалы [/, / + д)
и [s, s + a) не пересекаются, если s< t - а или s> t+x, а их пересечением
является интервал [/, s-j-cr), если t-a < s < t, интервал [s, s + a),
если t+s+t+ x - a, и интервал [s, tA-x), если t + x- a + s + t + x.
Следовательно,
00 / t
MYXY"=~ j <p(/)| j y(s)[k(s + o)-k(t)]ds +
- oo \t - a
11 т-a
-j- ^ ф (s) [fe (s + a) /г (s)] ds -f
