Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, k(t)~t, то формулы (8) и (9) дают ту = 0,
00
Dy= е~шх di- 1/2а. о
Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию стохастического
интеграла
00
1' = j-rqharfP(T),
о
где Р (t) - пуассоновский процесс постоянной интенсивности v.
j 3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 155
Согласно результатам примера 2 в данном случае mp~vt. Поэтому формулы (8)
и (9) дают
оо т -Г v dx VJI
ту ~ } 0 1 +т2 2 '
оо 0 v dx vn
(Н-тТ 4
3.1.3. Векторный стохастический интеграл. Определение (5) стохастического
интеграла от неслучайной функции легко распространяется на случай
векторного процесса с некоррелированными приращениями X (t) и матричной
функции ср (/). Для существования стохастического интеграла (5) в этом
случае необходимо и достаточно, чтобы существовали все скалярные
стохастические интегралы, входящие в выражение (5) случайного вектора Y.
При этом математическое ожидание стохастического интеграла (5)
определяется формулой (8), а его ковариационная матрица - формулой
ь
K,J = \ фОО у(т)ф(т)*йт, (14)
а
которая следует непосредственно из формул (9) и (13) для дисперсий и
ковариаций скалярных стохастических интегралов, входящих в
выражение (5) векторного стохастического интеграла.
Совершенно так же выводится формула для взаимной ковариационной матрицы
двух векторных стохастических интегралов вида (10):
ь
к", = 5 Ф (т) V (т) ф (т) * dx. (15)
а
3.1.4. Интегрирование по частям. Пусть ф (t)-функция, непрерывная вместе
со своей первой производной, X (t) - процесс с некоррелированными
приращениями с математическим ожиданием и ковариационной функцией,
определяемыми формулами (3). Покажем, что для стохастического интеграла
t
J Ф (т) dX (т)
<о!
справедлива формула интегрирования по частям. Процесс X (t) в общем
случае может быть векторным и соответственно функция ф (t) - матричной.
> Разобьем интервал (/0, t) на п равных частей длины At = ^ {t - t0)/n.
Точки деления обозначим tu ..., tn_ ь tn = t. Тогда
156 гл. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
по определению стохастического интеграла
^ п
J Ф (т) dX (т) = l.i.m. 2 -
Но в силу непрерывности и дифференцируемости функции ф (/) с точностью до
бесконечно малых имеем
I1 <p(f*-l) [*(**)-*(/*_!)]= 2 ф(h-i)X(h)-
k~1 ft-I
"if (tk-i) x (^_o = 2 ф (^-i) x (tk) - 2 ф (tk) x (tk) =
k^l k=l k-Q
n- 1
= ф x (t)-ф (/") x (t0) - 2 [ф (**)-ф (^-i)] x (tk) =
k-\
= ф (t) x {t)-ф (tn) x (/") - 2 ф' (tk) x (tk) м.
k=i
Отсюда, переходя к с. к. пределу при п -+¦ оо и, следовательно, А(-" 0,
на основании определения с. к. интеграла получаем формулу интегрирования
по частям
t t
5 ф(т )dX (т) = <р (/) X (/) ф(/0)Х (/0) ^ (г) X (т) dx.
(16)
to to
Эта формула выражает стохастический интеграл через обычный с. к.
интеграл. Вследствие этого она может быть принята за определение
стохастического интеграла от неслучайной функции. ^ Покажем еще, что
формула с. к. интегрирования по частям (2.74) справедлива и в том случае,
когда Z(t) представляет собой стохастический интеграл,
t
Z(0=Sl>(T)dX.(T), (17)
и, следовательно, не имеет с. к. производной. Функцию ф(т) будем
предполагать непрерывной.
> Как и в п. 2.4.7, разобьем интервал (t0, t) на п равных частей длины
At - (t - г0)/п. Точки деления обозначим tu ...
• ы-1, tn = t. По определению с. к. интеграла
t т п *к-1
^ ф' (x)dx 5 ф (о) dX (о) = l.i.m. ^ ф' (^_0 А^ 5 Ф(о)^Х(о).
<" п-*х k=\ t,
§3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 157
Но в силу непрерывности функций ц>' (/) и ф (/) имеем с точностью до
бесконечно малых
*0
Переходя к с. к. пределу при поо и, следовательно, At -+¦ 0, получаем
J ф' (т)dx ^ ty(.a)dX (а) = ф (/) $ ф(т)с?Х (т) - $ ф(т)ф(т)сгХ (т). (18)
Это и есть формула (2.74) для случая, когда случайная функция Z (t)
представляет собой стохастический интеграл (17). -^1
3.1.5. Аппроксимация стохастического интеграла. Известно, какое
большое значение для методов численного интегрирования имеет интегральная
теорема о среднем значении. Эта теорема утверждает, что для любой
непрерывной функции ф (/) и любой неотрицательной функции ф(/)
2 Ф (tk) J) Ф (т) dX (т) - 2 ф (tk) J ф (т) dX (т) =
к-1 f k=0 i
Го Го
ф (т) dX (т) =
ф(0 \ Ф(т)^Х(т)- S'PfW \ ф(т)й(Х(т) =
Т
ъ
ъ
5 Ф (т) ф (т) dx = ф (4) ^ ф (т) dx,
а
а
гДе tt ? [а, Ь]. Вводя функцию
Т (/) = 5 Ф (т) dx, t0 < а,
К.
Можем переписать предыдущую формулу в виде
ь
5 ф (т) dV (х) = ф (/.) [У (b) - W (а)], е [а, Ь].
а
158
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. УРАВНЕНИЯ
Приведенная теорема неверна для стохастических интегралов.
> Действительно, предположив, что она верна, будем иметь
ъ
$Ф(т)?*Х(т) = <р.[Х(&)-Х(а)],
а
где ф, - некоторое число. Чтобы убедиться в том, что это равенство
невозможно ни при каком ф*, вычислим дисперсию разности левой и правой
частей этого равенства: ь ь
V = $ Ф М dx (т) - ф" [X (b) - X (а)] = $ [ф (т) - ф"] dX.
а а
По формуле (9) находим
ъ
= S |ф(х)-Ф*|2у(т)сгт.
а
Ясно, что эта величина не может быть равной нулю ни при каком ф" если не
