Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
функции. Доказать справедливость следующих формул для математического
ожидания и ковариационной функции Y (t) [56]:
Для действительных скалярных случайных функций X (t) и Q (t, т) вывести
аналогичные формулы для моментов и семиинвариантов Y (t).
ai(t)X+a0(t)X=--V, X(t0) = 0,
(I)
определяется формулой [56]
Kit t 1 - ' 41\4J42\4J ч ^ *2.
~ I Vl(fl)?*(*2) при h>h,
f яЛ^)Яг(к) при h<t2
(II)
где
K(/) = Jq(C x)X(x)dx.
T
T
Ky (ti, t2) - ^ {trig {ti, Ti) m,Q (t2, T2) Kx (ti, t2) +
тт
+ KQ(ti, Tx, t2, T2) [tnx(xi)tnx(xi)'4rKx{xi, x2)]}dxidx2.
142
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
2.12. Показать, что моменты первого и второго порядков случайного
процесса Y (t) в системе
X = X (t) - случайный процесс с математическим ожиданием mx(t) и вторым
моментом ГЛ.(П, t2), определяются формулами [56]
Рассмотреть случай, когда X (t) является белым шумом постоянной
интенсивности v, a t0 - -оо. Указание. Воспользоваться формулами зада-
2.13. Дано нелинейное интегральное преобразование действительной
случайной функции X (t) (в общем случае векторной):
где ф (х, т, t) - в общем случае комплексная векторная функция. Покдзать,
что моменты первого и второго порядков случайной функции Y (t)
определяются формулами [85, 56]
где т) и /2 (х 1, х2; Ti, т2)-одномерная и двумерная плотности случайной
функции X (^). Выписать выражения для моментов и семиинвариантов высших
порядков.
2.14. Нелинейное преобразование действительной (скалярной или векторной)
случайной функции X (t),
называется приводимым к линейному, так как функция Y (t) представляет
собой результат линейного преобразования случайной функции U (t, Ti, ...
..., хг) = ф (/, X (ti), ..X (xr), Ti хг). Преобразование в задаче 2.13
является частным случаем преобразования, приводимого к линейному.
Показать, что математическое ожидание и начальный момент второго порядка
Y+UY = X,
где U - случайная величина с плотностью
е
(t~x]~y=j mx(x)dx,
ti t,
Tv(h, f*)=e$dT! J e
x
ГДть x2)dTi
2 Ti-------------
чи 2.11.
Y (t) = ^ ф (X (t), t, t) d-zt
T
T
T T
- со - oo
T T
ЗАДАЧИ
143
случайной функции Y (t) определяются формулами [56]:
ту (t) =^та (tt ть • • ¦, тг) dxt ... dxr,
т
Ti, • • ¦, тг, Ti, ..., % 'r) dxi ... dxr dxi ... dxr>
Г"
ТТ тт
где
Ша (^> ^1" • ¦ •" тг)
\ ¦ • ¦ ^ ф (Л Х1 хг, тх xr) fr (xlt ..., xr\ Ti, ..xr)dx1 . .. dxr,
- oo - x
00 CD
r" (Л, Л. n, ..., тг, Ть ..., x'r) = ^ ... ^ Ф (Л, *
.....................*r, Ti, ..., Tr)x
- 00 - CD
X Ф (Л > x'u .... Xu • • • , Tr)* f2r ("1, • • • , Xr, xi, x'r\
Ti,
.., Tr, ti, ..., Tr) dxi ... dxr dxi ... dxr,
a - "-мерная плотность случайной функции X (Л, л = г, 2г.
2.15. Доказать, что математическое ожидание и ковариационная функция
случайной функции
^ (0 = $ $ ? (*' ть т2) X (тО X (т.) dx1 Дт2,
г т
где g(f, ti, т2) - данная функция, X (Л - действительная нормально
распределенная случайная функция с нулевым математическим ожиданием и
ковариационной функцией Kx{ti, ЛЛ определяются следующими формулами [56]:
%(0=55* (*> Ть т2) Л* (Ti, Та) dXi dx2,
т т
Ку (л, л > - 5 5 5 S ^ т^'^ ^2'т^* ^^**"
тт тт
+ Кх (ть т2) X* (т'ь т2)] dx[ dxi dxi dxi-
Дать обобщение на случай
К(0= ^ X (xtf g(t, Ti, т2) X (та) dTi сЛ2,
т т
где g(<,Ti, т2) - "хи-матрица, X (t) - "-мерная векторная действительная
нормально распределенная случайная функция.
2.16. Показать, что в условиях задачи 2.13 при <р (х, т, t)=ex, T-{Qt t)
для случайной нормально распределенной функции X (t) с нулевым
математическим ожиданием и ковариационной функцией Kx(h- Л) справедливы
формулы
С ~х-Лх[Х,, Х2)
ПУ (0 = ) е dxi>
О
г (• 1Г lKx\(Xi, Xi) + Kx(xt, х2)]
Ку (Л. Л) = $ ) е2 {еКх^'^-\} dxxdx2.
о о
оУ X
Дать обобщение на случай ср (х, т, t) = e , а и х-"-мерные вектор
144
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
2.17. Показать, что в условиях задачи 2.13 при ф (х, т, 0 = sgn*> Т = =
(0, t) для нормально распределенного скалярного случайного процесса X
(t), обладающего нулевым математическим ожиданием и корреляционной
функцией г(т), т~t-i-tit имеет место следующая формула для дисперсии
[114]:
Dy (0 ~ ~ § U-t) arcsin г (т) dr.
О
2.18. Показать, что математическое ожидание и второй начальный мо* мент
случайной функции
ПО =5 2 ahlXh(x)Xl(x)dx, с К 1=1
где X (t) = [Xi (t) ... Хп (П]т-нормально распределенный случайный
процесс, компоненты которого имеют математические ожидания mt (/),
ковариационные и взаимные функции Khiihi h)> определяются формулами
* п
ту(1)=\ 2 abl [ть (т) mi (т) + ^л? (т> Т)1 dx,
О h, 1=1
tl tZ П
Гy(tlt f2)=^ 2 ablapq IKbl (т1> Tl) K-pq (Т2, Т2) +
0 0 h'1' Р- 4=1
+ %Ьр (tl, т2) Klq (Tj, T2)+TCft9 (ть Xi)Klpbl, Т2) +
+ К.Ы (ть Ti) тр (Ti) mq (T2)-f7Cbp (ть т2) mt (ti) mq (T2)-f
+ Xhq (ti, t2) mt (Ti) mp (т2) + ТС^ (ть t2) mh (ti) mq (t2) +
S+Xiq (ti, t2) mh (Ti) mp(ti)-{-Kpq (t2, t2) mh (ti) mt (ti)] Ai A2.
Указание. Воспользоваться формулами задачи 2.14.
2.19. Показать, что относительное время, в течение которого случайный
процесс X (t) превосходит данную функцию a (t) на интервале времени (t0,
