Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Kx(s, t) обоб ценной случайной функции X (/) как обобщенную функцию двух
переменных, определив ее равенством
К As, t)AVt=M(XO(s)b)(X°(t) Ф t), где индексы s и t у функций ф и ф
показывают, что Kx(s, t) действует на функцию ф^Фл, рассматриваемую как
функция переменной s, и на функцию фсф;о, рассматриваемую как функция
переменной t. Таким образом, ковариационная функция обобщенной случайной
функции представляет собой (неслучайную) обобщенную функцию двух
переменных, которая при каждом фиксированном значении одной из переменных
является обобщенной функцией другой. В частности, ковариационная функция
Kx(s, t) = = v (s) 6 (s- t) белого шума X (t) представляет собой
обобщенную функцию s и которая является обобщенной функцией s при
фиксированном t и обобщенной функцией / при фиксированном s.
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ [37
2.4.10. Интегралы, содержащие белый шум. Пример 18 показывает, что
существуют белые шумы, которые можно определить как слабые с. к. пределы
последовательностей обычных с. к. непрерывных случайных функций. При этом
для каждой такой последовательности случайных функций {Хп (/)} существует
с. к. предел последовательности с. к. интегралов
5 ср (т) Хп (т) dx (п - 1, 2, . . .) т
для любой функции сг (/) выбранного класса Ф. Естеетвенно принять этот с.
к. предел за интеграл от того белого шума ]/(/), к которому слабо с. к.
сходится последовательность {Xn(t)}\
5 'идИЧф/т l.i.m. ^ ср (т)Хп(т)а'т. (77)
Т п -*¦ -л т
Таким образом, мы приходим к точному определению интеграла от белого
шума: интегралом от белого шума V (t), который можно рассматривать как
слабый с. к. предел последовательности с. к. интегрируемых случайных
функций {Х"(0}, называется с. к. предел (77) интегралов от случайных
функций Xn(t). Это определение вполне аналогично определению интеграла от
б-функции как предела последовательности соответствующих интегралов,
содержащих вместо б-функции единичный импульс конечной отличной от нуля
длительности (ТВ, приложение 1). Таким образом, понятие белого шума в
теории случайных функций в некотором смысле аналогично понятию б-функций
в математическом анализе. Другая трактовка интегралов, содержащих белый
шум, будет дана в п. 3.1.7.
Для интегралов, содержащих белый шум, справедлива формула (70),
определяющая ковариационную функцию интеграла. Чтобы убедиться в этом,
достаточно найти предел последовательности интегралов (70) для случайных
функций последовательности {А'п(/)}) слабо с. к. сходящихся к этому
белому шуму (такой предельный переход рассмотрен в примере 18). Результат
получится, конечно, тот же, что и при непосредственной подстановке в
формулу (70) ковариационной функции белого шума Kv(ti_, t2) - ~ v (4)6(4
-12). Действительно, применив формулу (70) к интегралу от белого шума V:
Y (0 = J § (t, т) V (т) dx,
Т
получим
ч)т'(ч)б(т1 - T.2)g(t2, т2)*dx1 dx2 =
т т
= $ g(tu Т) v(x)g(t,,, %)*dr. т
138
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Теперь мы можем установить основное свойство интенсивности белого шума.
Из неотрицательности дисперсии скалярной случайной величины и
неотрицательной определенности ковариационной матрицы случайного вектора
следует неотрицательность интенсивности скалярного белого шума и
неотрицательная определенность матрицы интенсивности векторного белого
шума. Действительно, если это условие не выполняется в некотором
интервале изменения /, то, взяв в предыдущей формуле при t1 - t2 = t
функцию g (t, т) = ф(т) отличной от нуля только на этом интервале,
получим отрицательную дисперсию или соответственно отрицательно
определенную ковариационную матрицу случайной величины
Y (0= S Ф (r) V (г)dx-
т
Таким образом, интенсивность белого шума неотрицательна (представляет
собой неотрицательно определенную матрицу в случае векторного белого
шума).
Пример 19. Найти ковариационную функцию интеграла от белого шума V (t) с
ковариационной функцией Kv(ti, t2) = b{t^ -12):
t
У (0 г= ^ у (т) dx.
h
По формуле (65) находим
1 it
Kyit-L, *2) = ^ dxx ^ 6Он- X2)dx2 = m\n{tu ta).
t to
2.4.11. Производные белого шума. Если пользоваться обобщенными
функциями, то, как известно, практически любая функция и, в частности, 6-
функция неограниченно дифференцируемы (ТВ, приложение 1). Поэтому
ковариационная функция белого шума имеет производные всех порядков как
обобщенные функции. Это дает основание считать, что белый шум имеет
производные всех порядков, представляющие собой в общем случае обобщенные
случайные функции.
Пусть V(t)- белый шум постоянной интенсивности v. Его ковариационная
функция определяется формулой Kv (tu t2) = = vb(t1 - t2). Из (59)
следует, что ковариационная функция р-й производной VW (t) белого шума V
(t) определяется формулой
Kv^(tu t2) = (-l)Pvb<*P'(t1-ti).
Точно так же из (59) следует, что взаимная ковариационная функция
производных VW (t) и 1/<?>(/) белого шума V (t) определяется формулой
v **>=(-1v8'p+j) & - •
s 1!.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
