Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
сигнал линейной системы при подаче на ее вход белого шума. Такую систему
обычно называют формирующим фильтром. Задача нахождения интегрального
канонического представления случайной функции сводится в этом случае к
построению формирующего фильтра для данной случайной функции. С этой
задачей и с некоторыми методами ее решения мы встретимся в гл. 5.
Общие подходы к проблеме нахождения интегральных канонических
представлений читатель может найти в [102] (вып. 12).
170
ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
§ 3.3. Линейные стохастические дифференциальные уравнения
3.3.1. Определение. Линейное уравнение
= аХ 4- а0 + bV (26)
называется линейным стохастическим дифференциальным уравнением, если
случайная функция V (t) представляет собой белый шум. Пусть Х0 -случайная
величина той же размерности, что и случайная функция X (г) в (26), не
коррелированная с белым шумом V (s) при / < s. Уравнение (26) с начальным
условием Х(/0) = Хо определяет случайный процесс X (t) при ^>^0.
Чтобы придать уравнению (26) с начальным условием X (t0)-X0 точный смысл,
проинтегрируем его формально в пределах от t0 до i:
t L
X (/) = Х0 + I [а (т) X (т) ч п0 (т)] dx + \b (т) V (т) dr.
to t о
Первый интеграл здесь следует понимать как с. к. интеграл, а второй
согласно сказанному в п. 3.1.7 - как стохастический интеграл по процессу
с некоррелированными приращениями W (t), слабой с. к. производной
которого служит белый шум V (t). Таким образом, мы приходим к уравнению
t t
X(t) = X0 + J [а (т) X (т) + а0 (т)] dx + \b (т) dW (т), .(27)
to t о
определяющему случайный процесс X(t). Следовательно, уравнению (26) с
начальным условием Х(/0) = Х0 соответствует линейное стохастическое
интегральное уравнение (27).
Уравнение (27) имеет точный смысл. Стохастическое дифференциальное
уравнение (26) и равноценное ему уравнение
dX = (аХ + а0) dt + bdW
с начальным условием Х(/0) = Х" следует понимать как сокращенную запись
стохастического интегрального уравнения (27).
Случайный процесс X (t), удовлетворяющий уравнению (27), называется
средним квадратическим решением или, короче, с. к. решением уравнения
(27) и соответствующего стохастического дифференциального уравнения при
начальном условии X (t0)=X0, если интегралы в (27) представляют собой с.
к. пределы соответствующих интегральных сумм.
Случайный процесс X (i) называется решением в реализациях уравнения (27)
и соответствующего стохастического дифференциального уравнения при
начальном условии X(t0) = X0, если
§ 3.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
171
интегралы в (27) и производная в (26) существуют для каждой реализации
процессов X (/) и W (t) и равенства (27) и (26) справедливы для каждой
реализации этих процессов. С решением линейного стохастического
дифференциального уравнения в реализациях мы встречались в примере 2.13.
Однако в большей части задач приходится ограничиваться с. к. решениями.
3.3.2. Решение линейного уравнения. Пусть, как и в п. 1.3.2, u(t, т)
- решение однородного уравнения
du
-тт- = аи
at
при начальном условии ы(т, т) = /. Положим X (/) = и (t, t0)Y (t). Тогда
в силу обратимости матрицы u(t, t0) при всех t и t0 (п. 1.3.2) Y(t) -
u(t, to)~lX(t). Подставив сюда выражение X (t) из (27), будем иметь
Y(t)=u(t,
t t
+ u(t, /0)_1$ [a(t)X(T)-f a0(x)]dx + u(t, /0)-1 $ 6(т)гШ7(т). (28)
> Применим теперь к первому интегралу формулу интегрирования по частям
(2.74), положив
t
ф (/) = "(/, to)'1, Z(t) = J [a(r)X(r) + a0{r)]dx.
t о
Тогда, приняв во внимание, что по доказанному в п. 2.4.6 с. к.
производная с. к. интеграла по верхнему пределу равна значению
подынтегральной функции при этом пределе, получим
t
" г'о)-1 ^ [а (х) л: (х) + а0 (х)] dx =
t о
t
= \и(т, ^0)~1 [а (т) X (т) -р а0 (т)] d.T -f-
to
t Т
+ j [a(a)x(a) + ao{o)]do.
to to
Ho по доказанному в п. 1.3.3 d
dt
u(t, t0) 1 - w (t, /0)-1 a (t).
172 ГЛ. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
Следовательно,
t
и (Ч Ч)"1 5 Iй (т) Х (т) + а0 (т)] dx =
^0
t
= ^ ы(т> ^)~1[a(T)^(T)+aolT)j^1 '
*0
t Т
¦$и(х, ^0)_1a(T)(iT ^ [a(cr)X(cr)+ а" (cr)]ficr. (29)
Точно так же применим ко второму интегралу в (28) формулу интегрирования
по частям (18), положив
Ф (t) = u{t, to)-1, ф(t) = b{t).
Тогда получим
t t
и (/, to)'11 b(x)dW(x) = $ и (т, /0)-1&(t)liir (т) +
7 Г
+ 4)-1<*т jb(tr)dIF(a) =
^0 *0
f t X
= ^и(х, Ч)-1МТ)^^(Т)- ^ и (т, Ч)-1 а (т) dx b (a) dW (a). (30)
tl} t о t о
Наконец, первое слагаемое в право.: части формулы (28) представим в виде
^ (tl t0) 1 X.Q ~
I
= Х0 + Ч)-1 dx-X0 = X0 - ^u(x, 4)"1a('t)X0dT. (31)
dx
Подставив выражения (29) - (31) в (28), получим
Y(t) = Xa +
t t
+ I u(x, to)-1 \a (т) X (т) + a0 (г)] dx-\-^u (t, t0)-1b(x)dW (t) -
to to
t ( J T }
- I u(x, ta)-1a(x) ]X" + § [a (a) X (a) -f a0 (a)] do + \b(a)
dW (a)}dx.
to \ to to )
Но согласно (27)
T T
X04- $ [a (cr)X(a) + a" (a)]do+ J b(a)dW (a) = X(x).
§ 3.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 173
Следовательно,
t
Y (t) = Х0 + $ и (т, ^о)-1 [а (т) X (т) + а0 (т)] dx ¦
