Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
t), выражается формулой
t
1 [X (т) - а (т)] dx.
^0
Пользуясь формулами задачи 2.13, доказать, что математическое ожидание и
дисперсия случайной функции У (t) определяются формулами [56, 96]
t
to а(т)
t t CC 00
Dv ^ ==(t - t0)i ] j* dxddr2 § § Ifo (¦*!' **' tl, Ta)~/i (*i'> Ti)/x
(*i; Ta)]X
to to a (Ti) a (Tj)
Xdx i dx 2,
где /i (x; т) и /2 (xlt x2; Ti, t2) - одномерная и двумерная плотности
случайного процесса X (t).
2.20. Показать, что число пересечений процессом X (t) данной кривой а (t)
на интервале времени (^0, t) определяется формулой t
Z (0 =5 |^(т)-а(т)|б(^(т)~а(т"А. (I)
ЗАДАЧИ
145
Доказать, что момент аг (г -0, 1, 2, ...) числа пересечений Z(t)
определяется формулой [101] 3
ar = ^ <*Ti ... ^|dxr ^ ... 5^1 • ¦ • Vrfr (a, ylt .... a, yr\ xt тг) Л/i
... dyr,
(II)
о
где fr(Xu Vu • ••> xr> Vr'> Ti, T,) - r-мерная плотность векторной
случай-НОЙ функции [X (X) V (X)f, Г (X) = * (X).
При вычислении интеграла (II) необходимо учитывать б-функции б (хр-т9) в
выражении подынтегральной функции интеграла по переменным Хь . •хг [101].
Примечание. Формулы (I) и (II) справедливы лишь в том случае, когда почти
все реализации случайного процесса X (t) непрерывны и имеют непрерывные
первые производные. Для непрерывности почти всех реализаций случайного
процесса X (t) достаточно, чтобы ?его двумерная плотность при h - jti-12
| < 1/2 удовлетворяла условию [102] (вып. 8)
SS
ft (*i> <1. h) dx-L dx2 < б (h), (III)
I х%-Х\ |'3г е (А)
где е (/} и б (/)-такие непрерывные в нуле положительные функции, что
СО 00
2е(2-Л)<оо, ^2Р8(2~Р) < <х. (IV>
р=1 р=1
Для дифференцируемости почти всех реализаций случайного процесса X (t)
достаточно, чтобы было выполнено условие (III) и, кроме того, чтобы его
трехмерная плотность при h = \ ti- t2 | = 1t2- (3 | < 1/2 удовлетворяла
условию [102] (вып. 8)
h (*i> х2, *з; t\> h, /3) dxt dxз dx3 < 6j (h), (V)
| Xa-Sxj+x, | > e, (A)
где 6j (I) и 6X (/)- такие непрерывные в нуле положительные функции, для
которых справедливо второе неравенство (IV).
Для нормально распределенного случайного процесса Хг(() из (III) и (IV)
вытекают следующие достаточные условия, которым должна удовлетворять его
ковариационная функция [102] (вып. 8):
1) для непрерывности почти всех реализаций
Kx(t + х, t +х) - 2КХ (t-г х, t) + KA*. t)<c\x\y
при некоторых с, v > 0;
2) для дифференцируемости почти всех реализаций X (/)
Kx(t + 2х, / + 2т) - АКХ (/-{-2т, / + т) + 4/Сх(/ + х, /+т) +
+ 2Kx(t + 2x, /)-4Л"* С/+х. t) + Kx(t, t) < с1|х|1 + "
при некоторых Ci, p. > 0.
Первое из этих неравенств достаточно и в более общем случае, когда
двумерное распределение процесса X (/) нормально, а второе достаточно,
когда трехмерное распределение процесса X (/) нормально (напомним, что из
нормальности я-мерного распределения вытекает и нормальность яг-мер-ного
распределения при любом т < п (ТВ, § 4.4), однако п-мерное распределение
может быть нормальным, в то время как /я-мерное распределение не является
нормальным ни при каком т > п (ТВ, пример 4.23)).
146
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
2.21. Показать, что число стационарных точек процесса X (t) в интервале
(^о, t) определяется формулой
t
Y1(t)=^6(X(x))\X(x)\dx.
*0
Вывести формулу для момента аг (/' = 0, 1, 2, ...) числа стационарных
точек. Дать обобщение на случай векторного процесса [91].
2.22. Показать, что число превышений процессом X (t) кривой a (t) на
интервале времени (t0, t) определяется формулой
t
Y(t) = ^ | X (т) - а (т) | 1 (X (х)-а(х))б(Х (т) - а (т)) dx.
to
Доказать, что математическое ожидание и дисперсия случайной функции Y (t)
вычисляются по формулам [56]
t СО
mi/(0= ^ dx jj T)/i (а(т), а(т) + т); т) dr),
U о
t t ОО СО
S 111112 ^ "^Tl) + r)l' а(Т2)' "(Та) + Ла; 11, т2)
-
б, t0 0 0
-/i("(ii). a(ii) + T]i; Ti)/i(a(ia). a(x2)Jrr]2; т2)] dr\2,
где /i (x, x\ Ti, т2) и /2 (xi, Xi, x2, x2; Ti, т2) -одномерная и
двумерная плотности векторного процесса [X (t) X (t)JT. Дать обобщение
формул на случай векторного процесса X (t) [101].
ГЛАВА 3
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3.1, Стохастические интегралы от неслучайных функций
3.1.1. Процессы с некоррелированными приращениями. Случайный процесс
X (t) называется процессом с некоррелированными приращениями, если его
приращения Xt2-Xtl и Xtt-АД на любых непересекающихся интервалах, [Д, t2)
П [Д, Д) = 0 (т- е-h < t2 ^ ta < t4), не коррелированы.
Из этого определения следует, что приращения процесса с
некоррелированными приращениями на любых конечных интервалах имеют
конечные моменты второго (а следовательно, и первого) порядка. При этом
сам процесс X (t) может и не иметь конечных математического ожидания и
момента второго порядка.
Однако, если в некоторый момент t0 значение процесса с некоррелированными
приращениями X (t) почти наверное равно нулю,
П. Н.
Xto = 0, то процесс X (t) имеет конечные математическое ожидание и момент
второго порядка, так как его значение в любой момент Xt совпадает с его
