Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
139
Для читателей, знакомых с элементами функционального анализа, приведем
строгое определение производных обобщенной случайной функции.
В соответствии с общим определением производной в теории обобщенных
функций определим производную порядка р обобщенной случайной функции X (0
формулой (см. [40], [102] (вып. 11) и п. 2.4.9)
Х^р) (/) ф = (-1)р X (I) <р<я>, ф?Ф".-
Согласно этому определению любая обобщенная (в частности, обычная с. к.
непрерывная) случайная функция имеет производные всех порядков,
представляющие собой обобщенные случайные функции, так как при любом
натуральном р по определению.
Все выведенные в п. 2.4.4. формулы для математических ожиданий,
ковариационных функций и моментов второго порядка с. к. производных
случайных функций распространяются н на производные обобщенных случайных
функций.
Согласно определению математического ожидания обобщенной случайной
функции в п. 2.4.9 математическое ожидание р-й производной обобщенной
случайной функции X (1) определяется формулой
т (/7)ф ~МХ1-Р) (t) ф =¦ (-1 )Р MX (/) ф<р> = (-1 )Р Отд-ф*/7*.
Но согласно определению р-й производной неслучайной обобщенной функции
[40]
(-1)/' тхф(ё> =. т1хр)ф.
Следовательно,
т^р) (0 =т(хр) (0-
Точно так же ковариационная функция р-й производной обобщенной случайной
функции X (/) определяется формулой (п. 2.4.9)
к SF) (S. О Ч*Фг = М (*° ,р) (S) 4i) (X°w (t) фг) =
= М(Х° (s) г]4р)) (Х° (0 ФГ) = Кх (s, t) .
Но согласно определению р-й производной неслучайной обобщенной функции
K,(I. №К-$' 0 1=..
х, <*. о г^г-(- v а,к?-0 *.фг- ,} **¦
Следовательно,
К (s л - д*РК* (s' 0 dsPdtP '
Аналогично выводится формула для взаимной ковариационной функции р-й и q-
й производных обобщенной случайной функции X (t)\
К (S j) dPP"Kx{s,t)
Д Л.(Р)Л."7) > dsP дП
Из выведенных формул вытекают, в частности, приведенные формулы Для
ковариационных функций производных белого шума постоянной интенсивности.
140
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ
2.1. В условиях примера 1.1 найти дисперсию и ковариационную функцию
выходного сигнала, приняв начальные условия нулевыми, в случае, когда
входной сигнал представляет собой белый шум постоянной интенсивности.
2.2. Показать, что в условиях примера 1.3 для входного сигнала в виде
белого шума постоянной интенсивности v и нулевых начальных условиях
ковариационная функция выходного сигнала определяется формулой
2.3. Доказать, что в условиях примера 1.5 при входном сигнале X в виде
белого шума постоянной интенсивности v и нулевых начальных условиях
ковариационная функция выходного сигнала определяется формулой
2.4. Найти выражение для ковариационной функции векторного процесса
системы примера 1.9 при входном сигнале в виде белого шума постоянной
интенсивности.
2.5. Показать, что для системы примера 1.5 при ?=0, нулевых начальных
условиях и входном сигнале в виде белого шума интенсивности v
ковариационная функция выходного сигнала определяется формулой
2.6. Найти ковариационную функцию и дисперсию обобщенной координаты ли
ейной системы с одной степенью свободы задачи 1.3 при нулевых начальных
условиях и обобщенной силе в виде белого шума постоянной интенсивности.
2.7. Показать, что дисперсия переменной состояния Zi нестационарной
системы задачи 1.4 при входном сигнале в виде белого шума постоянной
интенсивности v и нулевых начальных условиях определяется формулой
Найти также дисперсию переменной состояния Z2 и ковариацию значений Z\ и
Z2 в один и тот же момент времени.
2.8. Показать, что дисперсии и ковариация значений Zi и Z2 в один и тот
же момент времени в нестационарной системе задачи 1.5 при нулевых
начальных условиях и входном сигнале в виде белого шума постоянной
/2)
ZIU-UI т _
K(tu tt)=~
г min (П. t2) I Т
}¦
toJ 2(1-у)
t \.2V_________1^
2(1+7)
- 1
]}
ЗАДАЧИ
141
интенсивности v определяются формулами
t
kn - v ^ т2 sin2 In dx,
to
t
to
t
k22 = \ ^ cos2 In -^dx.
to
2.9. Найти дисперсию выходного сигнала нестационарной системы за-
дачи 1.6 при нулевых начальных условиях и входном сигнале в виде белого
шума постоянной интенсивности.
2.10. Доказать, что ковариационная функция случайного процесса А',
связанного с белым шумом V единичной интенсивности линейным
дифференциальным уравнением
Доказать, что любую случайную функцию, ковариационная функция которой
выражается формулой вида (II), можно представить как случайную функцию,
связанную с некоторым белым шумом линейным дифференциальным уравнением
(I). Формула (II) определяет общий вид ковариационной функции нормально
распределенного скалярного марковского процесса. Рассмотреть частный
случай a2 = a/2D, a2 = l/2aD, (" = - эо.
2.11. Случайная функция Y (t) представляет собой результат преобразования
скалярной случайной функции X (t\ случайным линейным интегральным
оператором с весовой функцией Q (t, т):
Случайные функции X (t) и Q (t, т) независимы, mx(t), m,Q(t, т) и Kx(ti,
t2), Ko0i> Ti> ^2. Тг) - их математические ожидания и ковариационные
