Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
процесс с некоррелированными приращениями, то случайная функция Z([a, b))
имеет некоррелированные значения на непересекающихся интервалах. Так
определенная случайная функция интервала Z(\a, b)), очевидно, обладает
тем свойством, что ее значение на любом интервале, представляющем собой
конечное или счетное объединение интервалов, равно сумме ее значений на
этих интервалах. Функции, обладающие таким свойством, обычно называются
мерами.
Вторым примером случайной функции множества может служить с. к. интеграл
Z{A)=\X{ т) dx,
А
где X(t) - случайная функция векторной переменной, а А -произвольная
область соответствующего пространства. Областью определения случайной
функции Z (А) служит множество всех областей А, для которых существует
определяющий ее с. к. интеграл. В этом примере случайная функция Z(A)
также обладает тем свойством, что ее значение на любом множестве,
представляющем собой конечное или счетное объединение множеств, на
которых она определена, равно сумме ее значений на этих множествах.
Приведенные примеры приводят к следующему общему определению.
Случайная функция Z(A) множества А точек A-мерного пространства RN
называется стохастической мерой, определенной на некотором классе
множеств Л, если она равна нулю на пустом множестве, Z (0) = 0, случайные
величины ZA = Z (А) и ZB - Z (В) не коррелированы для любых
непересекающихся множеств А, В ? Л и для любой последовательности попарно
непересекающихся
§3.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 165
множеств {Л"}, Лп?А, АпАт = 0 при тфп, I)Ап?А,
/ СО \ СО
Z\ и л"]= 2 Z(An).
\r,= I n=l
Уто равенство выражает свойство счетной аддитивности или, короче, о-
аддитивности стохастической меры.
Пр имер 8. Пусть W\(t), ..., НРдг(/)--независимые скалярные процессы с
некоррелированными приращениями. Формула
{ N \ N
2 П [дг. Ьг) ] = H[Wr{br)-Wr(aT)]
\г=1 j Г=1
определяет стохастическую меру на множестве всех полуоткрытых
прямоугольников (параллелепипедов) пространства RN. Действительно, сг-
адди-тивность случайной функции Z (А) является прямым следствием о-
аддитивности приращений процессов Wlt WКроме того, в силу независимости
процессов Wj, ..., WN для любых непересекающихся прямоугольников JJ [аг,
Ьг) и Д f :r, dr) имеем
MZ° (П [аг, Ъг)) 2"(Д [Сп drj) =
г= 1
так как из того, что прямоугольники JJ [ar, Ьг) и JJ [cr, dr) не
пересекаются, следует, что по крайней мере для одного г интервалы [ar,
Ьг) и [cr, dr) не пересекаются, вследствие чего приращения W°r (br)-
War(ar) и W°r (dr)-W°r(cr) не коррелированы, т. e.
М [W°r (br) - W°r (ar)] |>" (dr) - War (cr)] - О для этого г.
Докажем, что G-аддитивная случайная функция множества Z (А) с конечным
моментом второго порядка, Z(0) = 0, является стохастической мерой тогда и
только п.огда, когда ее ковариационная функция KZ(A, В) представляет
собой функцию пересечения АВ,
Кг(А, B) = k(AB),
где k(C) - неотрицательная неубывающая функция, 0 /г (С,) <(' г^&(Сг) при
Сх сг С2, k(0) = O*).
> Если Z(A) - стохастическая мера, то, разбив множества А и В на
непересекающиеся части,
А = АВ + АВ, В = АВ ф- АВ,
*) В случае векторной Z k (С) представляет собой матрицу и
неотрицательность k (С) понимается как неотрицательная определенность, а
неубывание- как неотрицательная определенность k (С2) - k (СД при Сх cz
С2.
166 гл. 3. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ, УРАВНЕНИЯ
будем иметь
К: (А, В) = MZ° (A) Z0 (В)* =
= М [Z° (АВ) + Z0 (ЛВ)] [Z0 (ЛВ)* + Z(r) (ЛВ)*] =
= мг°(лв)г°(лв)" = /сг(лв, лв).
Положив k(C) = Kz{C, С), замечаем, что k (С) представляет собой
ковариационную матрицу случайного вектора Zc = Z(C). Следовательно, k(C)
неотрицательна (ТВ, п. 3.3.4) и &(0) = О. Далее, из определения
стохастической меры следует, что для любых непересекающихся Л и В, Л,
В^Л,
Z(AuB)=Z(A) + Z(B),
причем Z^) и Z(S) не коррелированы. Следовательно, коварна* ционная
матрица случайной величины Z (Л и В) равна сумме ковариационных матриц
величин Z (А) и Z(B):
?(Л иВ)=?(Л) + ?(В).
Следовательно, для любых множеств Сг и С2, Ct а С2, С2 = = Сх и С,2С1 и
k(C2) = k(Cl)-rk(C2Cl).
Отсюда следует, что k(C) - неубывающая функция. Таким образом,
необходимость условия доказана.
Для доказательства достаточности условия заметим, что из этого условия
следует для любых непересекающихся множеств Л, В?Л
Кг(А, B) = MZ°(A)Z"(B)* = k(AB) = k(0)=> 0.
В соединении с а-аддитивностью и условием Z(0) = O это доказывает, 4toZ^)
- стохастическая мера. Таким образом, достаточность условия также
доказана. *4
3.2.2. Стохастический интеграл. Пусть <p (t)-кусочно непрерывная
функция вектора t, t?T~RN, со счетным множеством разрывов и Z(A)-
стохастическая мера, определенная на всех областях пространства RN (т. е.
на всех множествах, имеющих N-мерный объем). Предположим, что
математическое ожидание т(А) и ковариационная функция k(A) меры Z (А)
представимы интегралами
т (Л) = ^ т' (т) dx, k (Л) = ^ v (т) dx, (19)
А А
где т'(t)-некоторая функция, a v(/) - некоторая неотрицательная функция.
