Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
\lha
слабо с. к. сходится к случайной функции X' (г).
На основе понятия слабой с. к. сходимости и слабой с. к.
дифференцируемости случайной функции можно дать строгое определение
белого шума и его производных (п. 3.1.6).
Для читателей, знакомых с основами функционального анализа, приведем
строгое определение обобщенной случайной функции.
Пусть Фте- пространство всех непрерывных вместе со своими производными
всех порядков (т. е. бесконечно дифференцируемых) финитных функций
скалярной или конечномерной векторной переменной ( (в случае ограниченной
области определения Т функций требование финитности заменяется
требованием равенства всех функций нулю на границе области Т). Это
линейное пространство называется пространством основных функций.
Определим в Ф" топологию окрестностями нуля (ф(0: ф(0€(r)">> I ф (О I < во
(0. |ф'(01<е1")....... I Ф(/,) (О I < *Р (/), Vt?T), соответ-
ствующими всем натуральным р и всем непрерывным положительным функциям е0
(/), ?i(t), e,p(t). Тем самым в Ф" определена сходимость:
последовательность элементов {ф"} пространства Ф" сходится к ф?Фоо, если
все последовательности функций {фп'(0} (9 = 0, 1, 2, ...) равно-
мерно сходятся к соответствующим функциям <р(<?) (0-
Пусть ?? - пространство непрерывных линейных функционалов на Ф", т. е.
таких функционалов хф, ф?Фос, для которых хф" -н-Хф при ф", ф€Ф~, фп ->
ф-
Обобщенной случайной функцией переменной t называется случайная величина
со значениями в 2С, т. е. случайный непрерывный линейный функционал на
пространстве основных функций Ф". Согласно этому определению обобщенная
случайная функция X (/) ставит в соответствие каждой основной функции
ф^Фоо скалярную случайную величину Хф = А(/)ф.
В соответствии с общим определением математического ожидания [92] (вып.
9) математическим ожиданием обобщенной случайной функции X (t) называется
непрерывный линейный функционал mx(t) на пространстве основных функций
<!>",, который каждой функции ф?Ф" ставит в соответствие математическое
ожидание соответствующей случайной величины 2бф = X (/) ф:
mx<f~= МХу = MX (t) ф.
Ковариационный оператор обобщенной случайной функции определяется
формулой [102] (вып. 9)
КХЦ> = МХ° (s)A? = MX0 (s) Х° (t) ф.
Этот оператор отображает пространство Ф" в XV¦ Аналогично определяются
оператор момента второго порядка обобщенной случайной функции и взаимные
оператор момента второго порядка и ковариационный оператор Двух
обобщенных случайных функций.
Если Ф" - пространство скалярных основных функций, то обобщенные
случайные функции на Ф" называются скалярными. Если Ф" - пространство г-
мерных векторных основных функций, то обобщенные случайные функции на Ф^
называются r-мерными векторными.
В соответствии с определением с. к. интеграла каждая с. к. непрерывная
случайная функция X (t) определяет случайный линейный функционал
X (/) ф= ^ X (т)т ф (т) dx, ф^Ф",. г
136
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Таким образом, каждая с. к. непрерывная случайная функция определяет
обобщенную случайную функцию. Математическое ожидание и ковариационный
оператор этой обобщенной случайной функции определяются так:
тху~МХ (/) ф- ^ тх (t)T ф (t) dt,
Т
Кхц> = МХ° (s) Х° (t) ф = ^ Кх (s, t)(f(t)dt, т
где mx(t) и Kx(s, t) - математическое ожидание и ковариационная функция
случайной функции X (/). Это соответствие между с. к. непрерывными и
определяемыми ими обобщенными случайными функциями дает основание
записывать все обобщенные случайные функции как обычные случайные функции
с указанием аргумента в скобках (хотя они могут и не иметь значения ни
при каком значении аргумента /), а случайные непрерывные линейные
функционалы записывать в виде интегралов
Х(0ф = $ X(t)T<p(t)dt. т
В соответствии с приведенным определением обобщенной случайной функции
белый шум интенсивности v (/) представляет собой обобщенную случайную
функцию, математическое ожидание которой равно нулю, а ковариационным
оператором служит оператор умножения сопряженной функции ф на
неотрицательную функцию v (t) (неотрицательную скалярную функцию в случае
скалярного белого шума и неотрицательно определенную при каждом t
матричную функцию в случае векторного белого шума):
v (s) фОО-
Правую часть этой формулы можно рассматривать как интегральный оператор с
ядром v(s)5(s- t) в полном соответствии с определением ковариационной
функции белого шума в п. 2.2.5.
Так как результат действия ковариационного оператора на любую функцию
ф?Фса представляет собой непрерывный линейный функционал на Ф", то,
применив этот функционал к функции ф^Ф", получим
(/<А-Ф)Ф=~А1(Х°(5)Ф)(Х^7У7р).
Это выражение симметрично относительно функций ф и ф; при данной функции
ф оно представляет собой результат действия непрерывного линейного
функционала (т. е. обобщенной неслучайной функции) на функцию ф, а при
данной функции ф - результат действия непрерывного линейного функционала
на функцию ф (напомним, что ковариационный оператор сопряженно линеен
[100] (вып. 9)). Это дает основание определить ковариационную функцию
