Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
t G Т. Случайная функция X (/) называется пределом в среднем
квадратическом (с. к. пределом) последовательности {Х"(/)}.
Так, например, с. к. производная X' (/) случайной функции X (/)
представляет собой с. к. предел последовательности случайных функций
{[X(/-fft")-X(t)]/hn}, если hn-+ 0 при поо. Точно так же с. к. интеграл
^ g (t, т) Х|(т) dx т
является с. к. пределом последовательности случайных функций переменной
/, представляющих собой соответствующие интегральные суммы.
Однако во многих случаях приходится рассматривать случайные функции как
пределы последовательностей случайных функций, когда с. к. пределы этих
последовательностей не существуют, но существуют с. к. пределы
последовательностей интегралов от произведений этих случайных функций на
любые
s 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 133
неслучайные функции некоторого класса *). Поэтому необходимо расширить
понятие с. к. сходимости последовательностей случайных функций.
Пусть Ф-некоторый класс ограниченных функций переменной t, каждая из
которых отлична от нуля только в некоторой конечной области (это
существенно только для случая бесконечной области определения Т
рассматриваемых случайных Функций)**). Последовательность случайных
функций {Хп (/)}, ( б Т, называется слабо сходящейся в среднем
квадратическом (слабо с. к. сходящейся) к случайной функции X (t) (по
отношению к Ф), если
Случайная функция X (t) называется в этом случае слабым с. к. пределом
последовательности {Х"(П}- Говоря о слабой с. к. сходимости, класс
функций Ф обычно не указывается, так как он. всегда естественно
определяется условиями задачи. Чаще всего это класс непрерывных функций,
или непрерывных со своими производными до определенного порядка, или
бесконечно дифференцируемых функций.
Пример 18. Рассмотрим последовательность случайных функций: {Х"(0} с
нулевыми математическими ожиданиями, ковариационные и взаимные
ковариационные функции которых определяются формулой
Очевидно, что Kmn(h< t2) ->0 при П - /2, Kmn(t, 0 ->• 00 при т, п -> со В
Следовательно, Kmn(h< ^2)-*$(4-12) при n, m -ьсо. Поэтому естественно
считать с. к. пределом последовательности {Хп (^)) белый шум единичной
интенсивности. Однако последовательность {Xп (/)} не имеет с. к. предела,
поскольку Kmn(t, t)->00 VO Рассмотрим последовательность
*) Совершенно так же, как ^-функция, и ее производные могут рас-
сматриваться как пределы соответствующих последовательностей обычных
Функций, хотя эти пределы в обычном смысле не существуют, а существуют
только как слабые пределы в том смысле, что последовательности "нтегралов
от произведений соответствующих функций на любые функции определенного
класса существуют (ТВ, приложение 1).
**) Такие функции называются финитными.
\ ср (т) Хп (т) dx ср (г) X (т) dr, VcP (t) б Ф.
г
Т
I ГП + П
Kmn(h, ti) = \
mn e-m
при t1 > /2,
m-pn
при ti < 12.
cc
j Kmu(t-PT, ^
- cc
CO
0
CD
5 Ф (T) Xn(x) dx,
134
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
где cp(f) - любая непрерывная финитная функция. Имеем 00 . 00
MYmYл = J J A"mn(T 1, Т2)ф(Т1)ф(та)ЙТ1ЙТ2 =
I d-c.
==lr^fn' J <P(Tl)dTl j e m(T' Тг> ф(та)^т2+^е п(Хг !''фЫ,
- 00 L - СО Xx
X
Ij ф (Ti) dT1 f-L ф (тО + ~ Ф (тГ) j ,
m ~'r n
- X
где Tj?(-x, xi), ос). Так как
e-m (т1-т2)) e-n (t2-ti) 0 yT2 _ Ti>
to Ti, Ti -*- Ti при tn, n оо и в силу непрерывности функции ф (t)
ф Ю, ф (ti) -" ф(и).
Поэтому
X
МУтУп -<- ^ ф2 (т) dx при т, п -> со.
- X
Следовательно, последовательность интегралов {Yn} с. к. сходится. По
определению последовательность {Хп (t)} в этом случае слабо с. к.
сходится. Значит, белый шум единичной интенсивности представляет собой
слабый с. к. предел данной последовательности случайных функций {Хп (f)}.
Приведенный пример показывает, что слабый с. к. предел последовательности
случайных функций может не быть случайной функцией в обычном смысле. Это
вызывает необходимость расширить понятие случайной функции.
Слабый с. к. предел последовательности случайных функций называется
обобщенной случайной функцией.
Белый шум примера 18 относится к классу обобщенных случайных функций.
Легко видеть, что любая с. к. сходящаяся последовательность случайных
функций слабо с. к. сходится к той же предельной случайной функции. Но
предел с. к. сходящейся последовательности случайных функций представляет
собой обычную случайную функцию с конечным моментом второго порядка.
Следовательно, класс обобщенных случайных функций содержит и некоторые
обычные случайные функции.
Приведенное определение обобщенной случайной функции вполне аналогично
определению б-функции и ее производных {ТВ, приложение 1).
Понятие слабой с. к. сходимости дает возможность расширить определение
производной случайной функции.
Случайная функция X' (t) скалярной переменной t называется слабой с. к.
производной случайной функции X{t), если для любой сходящейся к нулю
последовательности положительных
§ 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 135
чисел {h"} последовательность случайных функций Xa{t) = \X{t + hn)-X{t)-
