Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
интеграла по верхнему пределу распространяется и на с. к. интегралы от
случайных функций,
2.4.7. Формула интегрирования по частям. Пусть ф (t) - непрерывная
вместе со своей первой производной функция, Z(t) - с. к. непрерывная
случайная функция, имеющая непрерывную с. к. производную. Рассмотрим с.
к. интеграл
t
^ Ф' (т) Z (т) dx.
to
130
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Случайная функция Z (t) в общем случае может быть векторной и
соответственно <р (t) может быть матричной функцией.
> Разобьем интервал (^0, t) на п равных частей длины (t - t0)/n и
обозначим точки деления tlt . .., tn = t, At = (t - t0)/n. Тогда согласно
определению с. к. интеграла можем написать
* п
S ф' (т)z СО dx = 1. i. m. 2 ф' ih-i)z (**-i)
f n -> 00 k~ 1
1 о
Но в силу непрерывности функции ср' (t) с точностью до бесконечно малых
имеем
2 ф; (h-i)z (h-i) = 2 [ф (^а) Ф (Cfc-i)]z (h-i) =
k=i k=i
= 2 ф{tk)z(Cs:-i) 2 ф(tk-i)z(tk-i) -
k=\ k=l
- 2 Ф [h)Z{tk_i) 2 Ф (h)Z(tf:) ~
k=l fc=0
= cp (t)Z (tn^) - ф (t0) Z (t0) - 2 ф (У [Z (t")-Z (/*_,)] =
k- I
n- 1
= q>(t)Z(t - (t-t0)/n) - <p(t0)Z(t0)- 2 4>(tk) z'(tk)At.
k= I
Переходя к с. к. пределу при оо, -s- 0, получаем в силу
с. к. непрерывности Z(t)
t t
\(f'{x)Z{x)dx=^(f(t)Z(t) - ^,{tl))Z{t0)-l\i(f(x)Z'{x)dx. M (74)
Таким образом, формула интегрирования по частям справедлива и для с. к.
интегралов.
Из (74) в силу результата п. 2.4.6 получаем формулу для с. к. производной
произведения
^ф(02(0 = ф'(02(0 + ф(02'(0-
2.4.8. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений, содержащих
случайные функции. Рассмотрим линейную систему, описываемую
дифференциальным уравнением:
Z = aZ +агХ (t) + а0, Y = bZ-\-b0
при случайном начальном условии Z(t0) = Z0, где X(t) - случайная функция,
a Z0 - независимая от нее случайная величина с конечным моментом второго
порядка. Пользуясь формулой (1.25) для выходного сигнала такой системы,
выразим случайную функ-
5 2.4. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ (3(
цию Y как интеграл от случайной функции X (t):
Y(t) = b(t)u(t, t0)Z0 +
t t
+ ^b(t)u(t, т) (t)X (t) dx -f b(t) и (t, x) a0(x)dx-\-b0(t),
to to
где u(t, т) - решение однородного уравнения u = au при начальном условии
и(х,х) = 1. Положив g(t, х) = b(t)u(t, х)агу) при x<t (весовая функция
системы) и §¦(/, т) = 0 при т > t, получим с. к. интеграл вида (62) с
дополнительным случайным слагаемым, которое будет некоррелированным со
случайной функцией X (t). Согласно формулам (64) и (70) и свойствам
математических ожиданий математическое ожидание и ковариационная функция
выходного сигнала системы Y (t) определяются формулами
Щ (t) = b(t) и (t, t0) mZo +
t t
-f ^ b(t)u(t, x)ax (t) mx(x)dxJr {jb(t)u (t, x)aa (x)dx-\-ba(t), (75)
^0 ^0
Ky(tu t2) = b(t1)u(t1, t0)KZou{t2, t0yb(t2y +
ti t2
+ ^dxx Jb(C)"(C, t2) cl1 (т2)т u (t2, x2)T b(t2)Tdx2,
to to
(76)
где mZa и Kza - математическое ожидание и ковариационная матрица
случайного вектора Z0.
Пример 17. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию
выходного сигнала следящей системы, представляющей собой интегратор с
усилителем, обладающий коэффициентом усиления Р, и с отрицательной
обратной связью (рис. 10). Легко видеть, что входной сигнал интегратора
равен F = P(A-Y). Следовательно, " рассматриваемая следящая система
описыва-ется дифференциальным уравнением ^
Г = Р(Х -К),
или
p/s
Y
-т"-
Рис. 10 г+рг=рх (0.
Предположим, что входной сигнал X (t) представляет собой случайную
Функцию с математическим ожиданием mx(t) = a-\-bt и ковариационной
Функцией Kx(ti, t%) =De~a Hi-M и что начальное значение выходного сигнала
Y0 представляет собой случайную величину, независимую от X (t).
В данном случае интеграл однородного уравнения " = -при начальном условии
и = 1 при t = т определяется формулой
u(t, т)=е"Р(,-т).
132
ГЛ. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Учитывая, что 6=1, a\ = f>, а0 = 60 = 0, по формулам (75) и (76) находим
ту (0 = (тг/о -а-6/0 + 6/Р)е-|3<'"'0> + а -6/Р + 6/,
Ky(h, /2) =
ti 12
= D!//-P<<1 + ^-2^,4-P2D ^ dT! ^ e-0('i-T. + <2-TJ)-a|T1-T!pdTg =
^0 ^0
- п ,.-8(6 + 6-26) I Ргд Г р-а| 6-6 \_?L "-Р 16-ц 1_,,-а(6-6)-0 (6-6)
~^""е +р2_а2[е р е е -
_ е-а (6-6>-3 (6-6) + К + Р е-р (6 + 6-26)
В частном случае при (3 = а
ту (0 - (туо- а - bt0-\-b/a) е~а(<_6) -fa - 6/а -f 6/,
/|) = D^-"l,' + ,,-,w +
-r-^- {e""1'1-'"'1 (1 + al/! -/2 I)-e~a (6 + 6-26) j i - a (/x_|_ /2 -
2/"))}.
2.4.9. Слабая средняя квадратическая сходимость и обобщенные
случайные функции. Изучая с. к. дифференцирование и с. к. интегрирование
случайных функций на основе понятия с. к. сходимости последовательности
случайных величин, мы пришли к понятию с. к. сходимости
последовательности случайных функций. Поэтому естественно дать следующее
общее определение.
Последовательность случайных функций {Х"(/)}, t?T, называется сходш\ейся
в среднем квадратическом (с. к. сходящейся) к случайной функции X(i),
если последовательность значений {X"J этих случайных функций с. к.
сходится к соответствующему значению Xt случайной функции X (/) при всех
